Theorem fnmpl 14665

Description: mPoly has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fnmpl	⊢ mPoly Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmpl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑖 𝑘 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mplcoe 14636	. 2 ⊢ mPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}))
2		fnpsr 14639	. . . 4 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
3		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑖 ∈ V
4		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑟 ∈ V
5		fnovex 6040	. . . 4 ⊢ (( mPwSer Fn (V × V) ∧ 𝑖 ∈ V ∧ 𝑟 ∈ V) → (𝑖 mPwSer 𝑟) ∈ V)
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1371	. . 3 ⊢ (𝑖 mPwSer 𝑟) ∈ V
7		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		basfn 13099	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
9		funfvex 5646	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑤 ∈ dom Base) → (Base‘𝑤) ∈ V)
10	9	funfni 5423	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑤 ∈ V) → (Base‘𝑤) ∈ V)
11	8, 7, 10	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑤) ∈ V
12	11	rabex 4228	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))} ∈ V
13		ressex 13106	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))} ∈ V) → (𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}) ∈ V)
14	7, 12, 13	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}) ∈ V
15	6, 14	csbexa 4213	. 2 ⊢ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}) ∈ V
16	1, 15	fnmpoi 6355	1 ⊢ mPoly Fn (V × V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512  Vcvv 2799  ⦋csb 3124   class class class wbr 4083   × cxp 4717   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ↑_𝑚 cmap 6803   < clt 8189  ℕ₀cn0 9377  Basecbs 13040   ↾_s cress 13041  0_gc0g 13297   mPwSer cmps 14633   mPoly cmpl 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-i2m1 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-tset 13137  df-rest 13282  df-topn 13283  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-psr 14635  df-mplcoe 14636

This theorem is referenced by:  mplrcl  14666  mplbasss  14668  mplplusgg  14675  mpladd  14676