Theorem fnmpl 14977

Description: mPoly has universal domain. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fnmpl	⊢ mPoly Fn (V × V)

Proof of Theorem fnmpl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑖 𝑘 𝑟 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mplcoe 14941	. 2 ⊢ mPoly = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}))
2		fnpsr 14944	. . . 4 ⊢ mPwSer Fn (V × V)
3		vex 2818	. . . 4 ⊢ 𝑖 ∈ V
4		vex 2818	. . . 4 ⊢ 𝑟 ∈ V
5		fnovex 6091	. . . 4 ⊢ (( mPwSer Fn (V × V) ∧ 𝑖 ∈ V ∧ 𝑟 ∈ V) → (𝑖 mPwSer 𝑟) ∈ V)
6	2, 3, 4, 5	mp3an 1374	. . 3 ⊢ (𝑖 mPwSer 𝑟) ∈ V
7		vex 2818	. . . 4 ⊢ 𝑤 ∈ V
8		basfn 13358	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
9		funfvex 5692	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑤 ∈ dom Base) → (Base‘𝑤) ∈ V)
10	9	funfni 5463	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑤 ∈ V) → (Base‘𝑤) ∈ V)
11	8, 7, 10	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑤) ∈ V
12	11	rabex 4261	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))} ∈ V
13		ressex 13365	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))} ∈ V) → (𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}) ∈ V)
14	7, 12, 13	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}) ∈ V
15	6, 14	csbexa 4244	. 2 ⊢ ⦋(𝑖 mPwSer 𝑟) / 𝑤⦌(𝑤 ↾s {𝑓 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝑖)(∀𝑘 ∈ 𝑖 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑓‘𝑏) = (0g‘𝑟))}) ∈ V
16	1, 15	fnmpoi 6412	1 ⊢ mPoly Fn (V × V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {crab 2526  Vcvv 2815  ⦋csb 3141   class class class wbr 4114   × cxp 4752   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ↑_𝑚 cmap 6895   < clt 8324  ℕ₀cn0 9516  Basecbs 13299   ↾_s cress 13300  0_gc0g 13556   mPwSer cmps 14938   mPoly cmpl 14939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-ixp 6947  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-tset 13396  df-rest 13541  df-topn 13542  df-topgen 13560  df-pt 13561  df-psr 14940  df-mplcoe 14941

This theorem is referenced by:  mplrcl  14978  mplbasss  14980  mplplusgg  14987  mpladd  14988