ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnovex GIF version

Theorem fnovex 5616
Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
fnovex ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex
StepHypRef Expression
1 df-ov 5593 . 2 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 opelxp 4429 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐷))
3 funfvex 5266 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
43funfni 5066 . . . 4 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
52, 4sylan2br 282 . . 3 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
653impb 1135 . 2 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
71, 6syl5eqel 2169 1 ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920  wcel 1434  Vcvv 2612  cop 3425   × cxp 4398   Fn wfn 4963  cfv 4968  (class class class)co 5590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4406  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-fv 4976  df-ov 5593
This theorem is referenced by:  ovelrn  5727  fnofval  5799  mapsnen  6457  map1  6458  mapen  6491  mapdom1g  6492  mapxpen  6493  xpmapenlem  6494  fzen  9351  hashfacen  10074
  Copyright terms: Public domain W3C validator