Theorem fnovex 6118

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6088	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		opelxp 4804	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3		funfvex 5712	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
4	3	funfni 5483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	5	3impb 1230	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2325	1 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   × cxp 4772   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088

This theorem is used by:  ovelrn  6238  mapsnend  7099  mapsnen  7100  map1  7101  mapen  7146  mapdom1g  7147  mapxpen  7148  xpmapenlem  7149  mapunen  7151  2omapen  7319  fzen  10447  hashfacen  11284  wrdexg  11315  omctfn  13334  topnfn  13598  topnvalg  13605  prdsvallem  13621  ismhm  13768  mhmex  13769  gsumvalfi  14152  prdsval  14173  rhmex  14464  fnpsr  15051  psrelbas  15066  psrplusgg  15069  psraddcl  15071  psr0cl  15072  psr0lid  15073  psrnegcl  15074  psrlinv  15075  psrgrp  15076  psr1clfi  15079  mplvalcoe  15081  mplbascoe  15082  fnmpl  15084  mplsubgfilemcl  15090  mplplusgg  15094  restbasg  15269  tgrest  15270  restco  15275  lmfval  15294  cnfval  15295  cnpfval  15296  cnpval  15299  txrest  15377  ismet  15445  isxmet  15446  xmetunirn  15459  plyval  15833  pw1mapen  17026