Theorem fnovex 6082

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6052	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		opelxp 4778	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3		funfvex 5686	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
4	3	funfni 5457	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	5	3impb 1226	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2319	1 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ⟨cop 3691   × cxp 4746   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052

This theorem is referenced by:  ovelrn  6202  mapsnend  7051  mapsnen  7052  map1  7053  mapen  7098  mapdom1g  7099  mapxpen  7100  xpmapenlem  7101  mapunen  7103  2omapen  7269  fzen  10376  hashfacen  11204  wrdexg  11231  omctfn  13186  topnfn  13449  topnvalg  13456  prdsvallem  13477  prdsval  13478  ismhm  13666  mhmex  13667  rhmex  14294  fnpsr  14807  psrelbas  14822  psrplusgg  14825  psraddcl  14827  psr0cl  14828  psr0lid  14829  psrnegcl  14830  psrlinv  14831  psrgrp  14832  psr1clfi  14835  mplvalcoe  14837  mplbascoe  14838  fnmpl  14840  mplsubgfilemcl  14846  mplplusgg  14850  restbasg  15025  tgrest  15026  restco  15031  lmfval  15050  cnfval  15051  cnpfval  15052  cnpval  15055  txrest  15133  ismet  15201  isxmet  15202  xmetunirn  15215  plyval  15589  pw1mapen  16762  gfsumval  16853