Theorem fnovex 6121

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6091	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		opelxp 4806	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3		funfvex 5715	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
4	3	funfni 5486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	5	3impb 1230	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2325	1 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091

This theorem is used by:  ovelrn  6241  mapsnend  7103  mapsnen  7104  map1  7105  mapen  7150  mapdom1g  7151  mapxpen  7152  xpmapenlem  7153  mapunen  7155  2omapen  7325  fzen  10464  hashfacen  11306  wrdexg  11337  omctfn  13392  topnfn  13657  topnvalg  13664  prdsvallem  13680  ismhm  13827  mhmex  13828  gsumvalfi  14242  prdsval  14280  rhmex  14573  fnpsr  15160  psrelbas  15179  psrplusgg  15182  psraddcl  15184  psrmulrg  15186  psrmulfval  15187  psrmulclfilem  15189  psr0cl  15191  psr0lid  15192  psrnegcl  15193  psrlinv  15194  psrgrp  15195  psr1clfi  15198  psrdifi  15202  psrdirfi  15203  mplvalcoe  15206  mplbascoe  15207  fnmpl  15209  mplsubgfilemcl  15215  mplplusgg  15219  restbasg  15394  tgrest  15395  restco  15400  lmfval  15419  cnfval  15420  cnpfval  15421  cnpval  15424  txrest  15502  ismet  15570  isxmet  15571  xmetunirn  15584  plyval  15958  pw1mapen  17231