Theorem fnovex 5955

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5925	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		opelxp 4693	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3		funfvex 5575	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
4	3	funfni 5358	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	5	3impb 1201	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2283	1 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ⟨cop 3625   × cxp 4661   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925

This theorem is referenced by:  ovelrn  6072  mapsnen  6870  map1  6871  mapen  6907  mapdom1g  6908  mapxpen  6909  xpmapenlem  6910  fzen  10118  hashfacen  10928  wrdexg  10946  omctfn  12660  topnfn  12915  topnvalg  12922  ismhm  13093  mhmex  13094  rhmex  13713  fnpsr  14221  psrelbas  14228  psrplusgg  14230  psraddcl  14232  restbasg  14404  tgrest  14405  restco  14410  lmfval  14428  cnfval  14430  cnpfval  14431  cnpval  14434  txrest  14512  ismet  14580  isxmet  14581  xmetunirn  14594  plyval  14968