Theorem fnovex 5898

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5868	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		opelxp 4650	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
3		funfvex 5524	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
4	3	funfni 5308	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
5	2, 4	sylan2br 288	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	5	3impb 1199	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2262	1 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735  ⟨cop 3592   × cxp 4618   Fn wfn 5203  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868

This theorem is referenced by:  ovelrn  6013  mapsnen  6801  map1  6802  mapen  6836  mapdom1g  6837  mapxpen  6838  xpmapenlem  6839  fzen  10011  hashfacen  10782  omctfn  12409  topnfn  12613  topnvalg  12620  ismhm  12714  restbasg  13219  tgrest  13220  restco  13225  lmfval  13243  cnfval  13245  cnpfval  13246  cnpval  13249  txrest  13327  ismet  13395  isxmet  13396  xmetunirn  13409