ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzzd GIF version

Theorem frec2uzzd 10326
Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10325) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzzd (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzzd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
21fveq1i 5482 . 2 (𝐺𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
3 frec2uz.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
54peano2zd 9308 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
6 oveq1 5844 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 + 1) = (𝑘 + 1))
7 eqid 2164 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
86, 7fvmptg 5557 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
94, 5, 8syl2anc 409 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
109, 5eqeltrd 2241 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
11 frec2uzzd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ω)
123, 10, 11freccl 6363 . 2 (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴) ∈ ℤ)
132, 12eqeltrid 2251 1 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1342  wcel 2135  cmpt 4038  ωcom 4562  cfv 5183  (class class class)co 5837  freccfrec 6350  1c1 7746   + caddc 7748  cz 9183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-recs 6265  df-frec 6351  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184
This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10327  frec2uzltd  10329  frec2uzlt2d  10330  frec2uzf1od  10332  frec2uzrdg  10335  frec2uzled  10355
  Copyright terms: Public domain W3C validator