Theorem frec2uzzd 10630

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10629) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
2	1	fveq1i 5630	. 2 ⊢ (𝐺‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
3		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
6		oveq1 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 + 1) = (𝑘 + 1))
7		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
8	6, 7	fvmptg 5712	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
9	4, 5, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
10	9, 5	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
11		frec2uzzd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
12	3, 10, 11	freccl 6555	. 2 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴) ∈ ℤ)
13	2, 12	eqeltrid 2316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ↦ cmpt 4145  ωcom 4682  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  freccfrec 6542  1c1 8008   + caddc 8010  ℤcz 9454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10631  frec2uzltd  10633  frec2uzlt2d  10634  frec2uzf1od  10636  frec2uzrdg  10639  frec2uzled  10659