Theorem frec2uzzd 10663

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10662) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
2	1	fveq1i 5640	. 2 ⊢ (𝐺‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
3		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
6		oveq1 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 + 1) = (𝑘 + 1))
7		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
8	6, 7	fvmptg 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
9	4, 5, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
10	9, 5	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
11		frec2uzzd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
12	3, 10, 11	freccl 6569	. 2 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴) ∈ ℤ)
13	2, 12	eqeltrid 2318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  freccfrec 6556  1c1 8033   + caddc 8035  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10664  frec2uzltd  10666  frec2uzlt2d  10667  frec2uzf1od  10669  frec2uzrdg  10672  frec2uzled  10692