Theorem frec2uzzd 10400

Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 10399) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzzd	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzzd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
2	1	fveq1i 5517	. 2 ⊢ (𝐺‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
3		frec2uz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 9378	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
6		oveq1 5882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 + 1) = (𝑘 + 1))
7		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
8	6, 7	fvmptg 5593	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
9	4, 5, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) = (𝑘 + 1))
10	9, 5	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
11		frec2uzzd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ω)
12	3, 10, 11	freccl 6404	. 2 ⊢ (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴) ∈ ℤ)
13	2, 12	eqeltrid 2264	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ↦ cmpt 4065  ωcom 4590  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  freccfrec 6391  1c1 7812   + caddc 7814  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  10401  frec2uzltd  10403  frec2uzlt2d  10404  frec2uzf1od  10406  frec2uzrdg  10409  frec2uzled  10429