Theorem frec2uzltd 10818

Description: Less-than relation for G (see frec2uz0d 10814). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzltd	|- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzltd.b	. 2 |- ( ph -> B e. om )
2		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( A e. z <-> A e. (/) ) )
3		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( G ` z ) = ( G ` (/) ) )
4	3	breq2d 4137	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) ) )
7		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( z = y -> ( A e. z <-> A e. y ) )
8		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
9	8	breq2d 4137	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) ) )
12		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( A e. z <-> A e. suc y ) )
13		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( G ` z ) = ( G ` suc y ) )
14	13	breq2d 4137	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = suc y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = suc y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
17		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( z = B -> ( A e. z <-> A e. B ) )
18		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( G ` z ) = ( G ` B ) )
19	18	breq2d 4137	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
20	17, 19	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = B -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) )
22		noel 3525	. . . . 5 |- -. A e. (/)
23	22	pm2.21i 655	. . . 4 |- ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) )
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
25		id 19	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
26		fveq2 5690	. . . . . . . 8 |- ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) )
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) ) )
28	25, 27	orim12d 798	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
29		elsuc2g 4545	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
30	29	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
32		frec2uz.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
34		frec2uz.2	. . . . . . . . . 10 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
35		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> y e. om )
36	33, 34, 35	frec2uzsucd 10816	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
37	36	breq2d 4137	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` suc y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
38		frec2uzzd.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. om )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> A e. om )
40	33, 34, 39	frec2uzuzd 10817	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )
41	33, 34, 35	frec2uzuzd 10817	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) )
42		eluzelz 9910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
43		eluzelz 9910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
44		zleltp1 9679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
47	33, 34, 39	frec2uzzd 10815	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
48	33, 34, 35	frec2uzzd 10815	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
49		zleloe 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
51	37, 46, 50	3bitr2rd 217	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
52	31, 51	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
53	28, 52	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
54	53	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
55	54	a2d 26	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) -> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
56	6, 11, 16, 21, 24, 55	finds 4742	. 2 |- ( B e. om -> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   ` cfv 5372  (class class class)co 6075  freccfrec 6651   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10819  frec2uzf1od  10821  ennnfonelemex  13283  ennnfonelemnn0  13291