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Theorem frec2uzltd 9775
Description: Less-than relation for  G (see frec2uz0d 9771). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzltd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
2 eleq2 2151 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  (/) ) )
3 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( G `
 z )  =  ( G `  (/) ) )
43breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) )
52, 4imbi12d 232 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) )  <->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) ) )
65imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) ) ) )
7 eleq2 2151 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
8 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
98breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
107, 9imbi12d 232 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) )
1110imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) ) )
12 eleq2 2151 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A  e.  z  <-> 
A  e.  suc  y
) )
13 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 suc  y )
)
1413breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
1512, 14imbi12d 232 . . . 4  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
1615imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( ph  ->  ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
17 eleq2 2151 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  B ) )
18 fveq2 5289 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( G `  z )  =  ( G `  B ) )
1918breq2d 3849 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
2017, 19imbi12d 232 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
2120imbi2d 228 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) ) ) )
22 noel 3288 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
2322pm2.21i 610 . . . 4  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) )
2423a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) )
25 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
26 fveq2 5289 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) )
2825, 27orim12d 735 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
29 elsuc2g 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  <->  ( A  e.  y  \/  A  =  y ) ) )
3029bicomd 139 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
3130adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
3332adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  C  e.  ZZ )
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
35 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  y  e.  om )
3633, 34, 35frec2uzsucd 9773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  y )  =  ( ( G `  y )  +  1 ) )
3736breq2d 3849 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
3938adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  A  e.  om )
4033, 34, 39frec2uzuzd 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
4133, 34, 35frec2uzuzd 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
42 eluzelz 8997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
43 eluzelz 8997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
44 zleltp1 8775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( G `  A )  <  ( ( G `
 y )  +  1 ) ) )
4542, 43, 44syl2an 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4640, 41, 45syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4733, 34, 39frec2uzzd 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
4833, 34, 35frec2uzzd 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
49 zleloe 8767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( ( G `
 A )  < 
( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) ) ) )
5137, 46, 503bitr2rd 215 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
5231, 51imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) ) )  <->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5328, 52syl5ib 152 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5453ex 113 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y
) )  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
5554a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y
) ) )  -> 
( ph  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4405 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
571, 56mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   (/)c0 3284   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891   suc csuc 4183   omcom 4395   ` cfv 5002  (class class class)co 5634  freccfrec 6137   1c1 7330    + caddc 7332    < clt 7501    <_ cle 7502   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  9776  frec2uzf1od  9778
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