Theorem frec2uzltd 10328

Description: Less-than relation for G (see frec2uz0d 10324). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzltd	|- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzltd.b	. 2 |- ( ph -> B e. om )
2		eleq2 2228	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( A e. z <-> A e. (/) ) )
3		fveq2 5480	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( G ` z ) = ( G ` (/) ) )
4	3	breq2d 3988	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
5	2, 4	imbi12d 233	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) ) )
7		eleq2 2228	. . . . 5 |- ( z = y -> ( A e. z <-> A e. y ) )
8		fveq2 5480	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
9	8	breq2d 3988	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 233	. . . 4 |- ( z = y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) )
11	10	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) ) )
12		eleq2 2228	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( A e. z <-> A e. suc y ) )
13		fveq2 5480	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( G ` z ) = ( G ` suc y ) )
14	13	breq2d 3988	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 233	. . . 4 |- ( z = suc y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
16	15	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = suc y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
17		eleq2 2228	. . . . 5 |- ( z = B -> ( A e. z <-> A e. B ) )
18		fveq2 5480	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( G ` z ) = ( G ` B ) )
19	18	breq2d 3988	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
20	17, 19	imbi12d 233	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
21	20	imbi2d 229	. . 3 |- ( z = B -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) )
22		noel 3408	. . . . 5 |- -. A e. (/)
23	22	pm2.21i 636	. . . 4 |- ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) )
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
25		id 19	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
26		fveq2 5480	. . . . . . . 8 |- ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) )
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) ) )
28	25, 27	orim12d 776	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
29		elsuc2g 4377	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
30	29	bicomd 140	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
31	30	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
32		frec2uz.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
34		frec2uz.2	. . . . . . . . . 10 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
35		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> y e. om )
36	33, 34, 35	frec2uzsucd 10326	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
37	36	breq2d 3988	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` suc y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
38		frec2uzzd.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. om )
39	38	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> A e. om )
40	33, 34, 39	frec2uzuzd 10327	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )
41	33, 34, 35	frec2uzuzd 10327	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) )
42		eluzelz 9466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
43		eluzelz 9466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
44		zleltp1 9237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
45	42, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
47	33, 34, 39	frec2uzzd 10325	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
48	33, 34, 35	frec2uzzd 10325	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
49		zleloe 9229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
51	37, 46, 50	3bitr2rd 216	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
52	31, 51	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
53	28, 52	syl5ib 153	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
54	53	ex 114	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
55	54	a2d 26	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) -> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
56	6, 11, 16, 21, 24, 55	finds 4571	. 2 |- ( B e. om -> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1342   e. wcel 2135   (/)c0 3404   class class class wbr 3976   |-> cmpt 4037   suc csuc 4337   omcom 4561   ` cfv 5182  (class class class)co 5836  freccfrec 6349   1c1 7745   + caddc 7747   < clt 7924   <_ cle 7925   ZZcz 9182   ZZ>=cuz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458

This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10329  frec2uzf1od  10331  ennnfonelemex  12284  ennnfonelemnn0  12292