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Theorem frec2uzltd 10200
Description: Less-than relation for  G (see frec2uz0d 10196). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzltd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
2 eleq2 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  (/) ) )
3 fveq2 5424 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( G `
 z )  =  ( G `  (/) ) )
43breq2d 3944 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) )
52, 4imbi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) )  <->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) ) )
65imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) ) ) )
7 eleq2 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
8 fveq2 5424 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
98breq2d 3944 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
107, 9imbi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) )
1110imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) ) )
12 eleq2 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A  e.  z  <-> 
A  e.  suc  y
) )
13 fveq2 5424 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 suc  y )
)
1413breq2d 3944 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
1512, 14imbi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
1615imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( ph  ->  ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
17 eleq2 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  B ) )
18 fveq2 5424 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( G `  z )  =  ( G `  B ) )
1918breq2d 3944 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
2017, 19imbi12d 233 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
2120imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) ) ) )
22 noel 3367 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
2322pm2.21i 635 . . . 4  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) )
2423a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) )
25 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
26 fveq2 5424 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )
2726a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) )
2825, 27orim12d 775 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
29 elsuc2g 4330 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  <->  ( A  e.  y  \/  A  =  y ) ) )
3029bicomd 140 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
3130adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
3332adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  C  e.  ZZ )
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
35 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  y  e.  om )
3633, 34, 35frec2uzsucd 10198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  y )  =  ( ( G `  y )  +  1 ) )
3736breq2d 3944 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
3938adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  A  e.  om )
4033, 34, 39frec2uzuzd 10199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
4133, 34, 35frec2uzuzd 10199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
42 eluzelz 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
43 eluzelz 9354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
44 zleltp1 9128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( G `  A )  <  ( ( G `
 y )  +  1 ) ) )
4542, 43, 44syl2an 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4640, 41, 45syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4733, 34, 39frec2uzzd 10197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
4833, 34, 35frec2uzzd 10197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
49 zleloe 9120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
5047, 48, 49syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( ( G `
 A )  < 
( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) ) ) )
5137, 46, 503bitr2rd 216 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
5231, 51imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) ) )  <->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5328, 52syl5ib 153 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5453ex 114 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y
) )  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
5554a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ph  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y
) ) )  -> 
( ph  ->  ( A  e.  suc  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4517 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
571, 56mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   (/)c0 3363   class class class wbr 3932    |-> cmpt 3992   suc csuc 4290   omcom 4507   ` cfv 5126  (class class class)co 5777  freccfrec 6290   1c1 7640    + caddc 7642    < clt 7819    <_ cle 7820   ZZcz 9073   ZZ>=cuz 9345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-ltadd 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-recs 6205  df-frec 6291  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346
This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10201  frec2uzf1od  10203  ennnfonelemex  11950  ennnfonelemnn0  11958
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