Theorem frec2uzltd 10495

Description: Less-than relation for G (see frec2uz0d 10491). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzltd	|- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzltd.b	. 2 |- ( ph -> B e. om )
2		eleq2 2260	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( A e. z <-> A e. (/) ) )
3		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( G ` z ) = ( G ` (/) ) )
4	3	breq2d 4045	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) ) )
7		eleq2 2260	. . . . 5 |- ( z = y -> ( A e. z <-> A e. y ) )
8		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
9	8	breq2d 4045	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) )
11	10	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) ) )
12		eleq2 2260	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( A e. z <-> A e. suc y ) )
13		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( G ` z ) = ( G ` suc y ) )
14	13	breq2d 4045	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = suc y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = suc y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
17		eleq2 2260	. . . . 5 |- ( z = B -> ( A e. z <-> A e. B ) )
18		fveq2 5558	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( G ` z ) = ( G ` B ) )
19	18	breq2d 4045	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
20	17, 19	imbi12d 234	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = B -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) )
22		noel 3454	. . . . 5 |- -. A e. (/)
23	22	pm2.21i 647	. . . 4 |- ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) )
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
25		id 19	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
26		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) )
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) ) )
28	25, 27	orim12d 787	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
29		elsuc2g 4440	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
30	29	bicomd 141	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
32		frec2uz.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
34		frec2uz.2	. . . . . . . . . 10 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
35		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> y e. om )
36	33, 34, 35	frec2uzsucd 10493	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
37	36	breq2d 4045	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` suc y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
38		frec2uzzd.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. om )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> A e. om )
40	33, 34, 39	frec2uzuzd 10494	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )
41	33, 34, 35	frec2uzuzd 10494	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) )
42		eluzelz 9610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
43		eluzelz 9610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
44		zleltp1 9381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
45	42, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
47	33, 34, 39	frec2uzzd 10492	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
48	33, 34, 35	frec2uzzd 10492	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
49		zleloe 9373	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
51	37, 46, 50	3bitr2rd 217	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
52	31, 51	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
53	28, 52	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
54	53	ex 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
55	54	a2d 26	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) -> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
56	6, 11, 16, 21, 24, 55	finds 4636	. 2 |- ( B e. om -> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   suc csuc 4400   omcom 4626   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602

This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  10496  frec2uzf1od  10498  ennnfonelemex  12631  ennnfonelemnn0  12639