Theorem binom1p 10942

Description: Special case of the binomial theorem for ( 1 + A ) ^ N. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
binom1p	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem binom1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7501	. . 3 |- 1 e. CC
2		binom 10941	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1261	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) )
4		fznn0sub 9534	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
5	4	adantl 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
6	5	nn0zd 8929	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. ZZ )
7		1exp 10047	. . . . . . 7 |- ( ( N - k ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( N - k ) ) = 1 )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ^ ( N - k ) ) = 1 )
9	8	oveq1d 5683	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( 1 x. ( A ^ k ) ) )
10		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> A e. CC )
11		elfznn0 9591	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
12		expcl 10036	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
13	10, 11, 12	syl2an 284	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
14	13	mulid2d 7569	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( A ^ k ) ) = ( A ^ k ) )
15	9, 14	eqtrd 2121	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( A ^ k ) )
16	15	oveq2d 5684	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )
17	16	sumeq2dv 10820	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )
18	3, 17	eqtrd 2121	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439  (class class class)co 5668   CCcc 7411   0cc0 7413   1c1 7414   + caddc 7416   x. cmul 7418   - cmin 7716   NN0cn0 8736   ZZcz 8813   ...cfz 9487   ^cexp 10017   _C cbc 10218   sum_csu 10805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-bc 10219  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806

This theorem is referenced by:  binom11  10943  binom1dif  10944