ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  binom1p Unicode version

Theorem binom1p 11520
Description: Special case of the binomial theorem for  ( 1  +  A
) ^ N. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
binom1p  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^ k
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem binom1p
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7929 . . 3  |-  1  e.  CC
2 binom 11519 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  A
) ^ N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( A ^ k ) ) ) )
31, 2mp3an1 1335 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( 1 ^ ( N  -  k
) )  x.  ( A ^ k ) ) ) )
4 fznn0sub 10082 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
54adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
65nn0zd 9398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
7 1exp 10575 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  -  k ) )  =  1 )
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( 1 ^ ( N  -  k
) )  =  1 )
98oveq1d 5907 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( ( 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( A ^ k
) )  =  ( 1  x.  ( A ^ k ) ) )
10 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
11 elfznn0 10139 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
12 expcl 10564 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 289 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
1413mulid2d 8001 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( A ^ k
) )  =  ( A ^ k ) )
159, 14eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( ( 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( A ^ k
) )  =  ( A ^ k ) )
1615oveq2d 5908 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( 1 ^ ( N  -  k
) )  x.  ( A ^ k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^
k ) ) )
1716sumeq2dv 11403 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( A ^
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^ k ) ) )
183, 17eqtrd 2222 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^ k
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160  (class class class)co 5892   CCcc 7834   0cc0 7836   1c1 7837    + caddc 7839    x. cmul 7841    - cmin 8153   NN0cn0 9201   ZZcz 9278   ...cfz 10033   ^cexp 10545    _C cbc 10754   sum_csu 11388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6762  df-dom 6763  df-fin 6764  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-fz 10034  df-fzo 10168  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-fac 10733  df-bc 10755  df-ihash 10783  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-clim 11314  df-sumdc 11389
This theorem is referenced by:  binom11  11521  binom1dif  11522
  Copyright terms: Public domain W3C validator