Theorem binom1p 11520

Description: Special case of the binomial theorem for ( 1 + A ) ^ N. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
binom1p	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem binom1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7929	. . 3 |- 1 e. CC
2		binom 11519	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1335	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) )
4		fznn0sub 10082	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
6	5	nn0zd 9398	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. ZZ )
7		1exp 10575	. . . . . . 7 |- ( ( N - k ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( N - k ) ) = 1 )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ^ ( N - k ) ) = 1 )
9	8	oveq1d 5907	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( 1 x. ( A ^ k ) ) )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> A e. CC )
11		elfznn0 10139	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
12		expcl 10564	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
14	13	mulid2d 8001	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( A ^ k ) ) = ( A ^ k ) )
15	9, 14	eqtrd 2222	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( A ^ k ) )
16	15	oveq2d 5908	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )
17	16	sumeq2dv 11403	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )
18	3, 17	eqtrd 2222	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5892   CCcc 7834   0cc0 7836   1c1 7837   + caddc 7839   x. cmul 7841   - cmin 8153   NN0cn0 9201   ZZcz 9278   ...cfz 10033   ^cexp 10545   _C cbc 10754   sum_csu 11388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954  ax-arch 7955  ax-caucvg 7956

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6762  df-dom 6763  df-fin 6764  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554  df-q 9645  df-rp 9679  df-fz 10034  df-fzo 10168  df-seqfrec 10472  df-exp 10546  df-fac 10733  df-bc 10755  df-ihash 10783  df-cj 10878  df-re 10879  df-im 10880  df-rsqrt 11034  df-abs 11035  df-clim 11314  df-sumdc 11389

This theorem is referenced by:  binom11  11521  binom1dif  11522