Theorem binom1p 12066

Description: Special case of the binomial theorem for ( 1 + A ) ^ N. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
binom1p	|- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem binom1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8127	. . 3 |- 1 e. CC
2		binom 12065	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1360	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) )
4		fznn0sub 10294	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
5	4	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
6	5	nn0zd 9602	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - k ) e. ZZ )
7		1exp 10833	. . . . . . 7 |- ( ( N - k ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( N - k ) ) = 1 )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ^ ( N - k ) ) = 1 )
9	8	oveq1d 6035	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( 1 x. ( A ^ k ) ) )
10		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> A e. CC )
11		elfznn0 10351	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
12		expcl 10822	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. CC )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
14	13	mulid2d 8200	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( A ^ k ) ) = ( A ^ k ) )
15	9, 14	eqtrd 2263	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) = ( A ^ k ) )
16	15	oveq2d 6036	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) = ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )
17	16	sumeq2dv 11948	. 2 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( ( 1 ^ ( N - k ) ) x. ( A ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )
18	3, 17	eqtrd 2263	1 |- ( ( A e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + A ) ^ N ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( N _C k ) x. ( A ^ k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201  (class class class)co 6020   CCcc 8032   0cc0 8034   1c1 8035   + caddc 8037   x. cmul 8039   - cmin 8352   NN0cn0 9404   ZZcz 9481   ...cfz 10245   ^cexp 10803   _C cbc 11012   sum_csu 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151  ax-pre-mulext 8152  ax-arch 8153  ax-caucvg 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-isom 5334  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-irdg 6538  df-frec 6559  df-1o 6584  df-oadd 6588  df-er 6704  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-ap 8764  df-div 8855  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-q 9856  df-rp 9891  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-seqfrec 10713  df-exp 10804  df-fac 10991  df-bc 11013  df-ihash 11041  df-cj 11422  df-re 11423  df-im 11424  df-rsqrt 11578  df-abs 11579  df-clim 11859  df-sumdc 11934

This theorem is referenced by:  binom11  12067  binom1dif  12068