ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  binom1p Unicode version

Theorem binom1p 10942
Description: Special case of the binomial theorem for  ( 1  +  A
) ^ N. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
binom1p  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^ k
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N

Proof of Theorem binom1p
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7501 . . 3  |-  1  e.  CC
2 binom 10941 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( 1  +  A
) ^ N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( A ^ k ) ) ) )
31, 2mp3an1 1261 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( 1 ^ ( N  -  k
) )  x.  ( A ^ k ) ) ) )
4 fznn0sub 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
54adantl 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
65nn0zd 8929 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
7 1exp 10047 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  -  k ) )  =  1 )
86, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( 1 ^ ( N  -  k
) )  =  1 )
98oveq1d 5683 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( ( 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( A ^ k
) )  =  ( 1  x.  ( A ^ k ) ) )
10 simpl 108 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
11 elfznn0 9591 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
12 expcl 10036 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 284 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( A ^
k )  e.  CC )
1413mulid2d 7569 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( 1  x.  ( A ^ k
) )  =  ( A ^ k ) )
159, 14eqtrd 2121 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( ( 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( A ^ k
) )  =  ( A ^ k ) )
1615oveq2d 5684 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  (
0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( 1 ^ ( N  -  k
) )  x.  ( A ^ k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^
k ) ) )
1716sumeq2dv 10820 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( A ^
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^ k ) ) )
183, 17eqtrd 2121 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  A ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( A ^ k
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439  (class class class)co 5668   CCcc 7411   0cc0 7413   1c1 7414    + caddc 7416    x. cmul 7418    - cmin 7716   NN0cn0 8736   ZZcz 8813   ...cfz 9487   ^cexp 10017    _C cbc 10218   sum_csu 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-bc 10219  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806
This theorem is referenced by:  binom11  10943  binom1dif  10944
  Copyright terms: Public domain W3C validator