Theorem bcrpcl 10222

Description: Closure of the binomial coefficient in the positive reals. (This is mostly a lemma before we have bccl2 10237.) (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcrpcl	|- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )

Proof of Theorem bcrpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10219	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
2		elfz3nn0 9590	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
3		faccl 10204	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` N ) e. NN )
5		fznn0sub 9532	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
6		elfznn0 9589	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
7		faccl 10204	. . . . 5 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
8		faccl 10204	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. NN )
9		nnmulcl 8504	. . . . 5 |- ( ( ( ! ` ( N - K ) ) e. NN /\ ( ! ` K ) e. NN ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
10	7, 8, 9	syl2an 284	. . . 4 |- ( ( ( N - K ) e. NN0 /\ K e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
11	5, 6, 10	syl2anc 404	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN )
12		nnrp 9204	. . . 4 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. RR+ )
13		nnrp 9204	. . . 4 |- ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. RR+ )
14		rpdivcl 9220	. . . 4 |- ( ( ( ! ` N ) e. RR+ /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) e. RR+ )
15	12, 13, 14	syl2an 284	. . 3 |- ( ( ( ! ` N ) e. NN /\ ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) e. NN ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) e. RR+ )
16	4, 11, 15	syl2anc 404	. 2 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) e. RR+ )
17	1, 16	eqeltrd 2165	1 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1439   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   0cc0 7411   x. cmul 7416   - cmin 7714   / cdiv 8200   NNcn 8483   NN0cn0 8734   RR+crp 9195   ...cfz 9485   !cfa 10194   _C cbc 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-fz 9486  df-iseq 9914  df-fac 10195  df-bc 10217

This theorem is referenced by:  bcp1nk  10231  bcpasc  10235  bccl2  10237