Theorem permnn 10765

Description: The number of permutations of N - R objects from a collection of N objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	|- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10128	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> R e. NN0 )
2	1	faccld 10730	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) e. NN )
3		fznn0sub 10071	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N - R ) e. NN0 )
4	3	faccld 10730	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` ( N - R ) ) e. NN )
5	4, 2	nnmulcld 8982	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) e. NN )
6		elfz3nn0 10129	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
7		faccl 10729	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
8	7	nncnd 8947	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
10	4	nncnd 8947	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` ( N - R ) ) e. CC )
11	2	nncnd 8947	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) e. CC )
12	2	nnap0d 8979	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) # 0 )
13	10, 11, 12	divcanap4d 8767	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) = ( ! ` ( N - R ) ) )
14	13, 4	eqeltrd 2264	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) e. NN )
15		bcval2 10744	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N _C R ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) )
16		bccl2 10762	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N _C R ) e. NN )
17	15, 16	eqeltrrd 2265	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) e. NN )
18		nndivtr 8975	. 2 |- ( ( ( ( ! ` R ) e. NN /\ ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) e. NN /\ ( ! ` N ) e. CC ) /\ ( ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) e. NN /\ ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) e. NN ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )
19	2, 5, 9, 14, 17, 18	syl32anc 1256	1 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   0cc0 7825   x. cmul 7830   - cmin 8142   / cdiv 8643   NNcn 8933   NN0cn0 9190   ...cfz 10022   !cfa 10719   _C cbc 10741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-seqfrec 10460  df-fac 10720  df-bc 10742

This theorem is referenced by:  eirraplem  11798