ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  permnn Unicode version

Theorem permnn 10705
Description: The number of permutations of  N  -  R objects from a collection of  N objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 10070 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  R  e.  NN0 )
21faccld 10670 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  NN )
3 fznn0sub 10013 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  R )  e.  NN0 )
43faccld 10670 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  NN )
54, 2nnmulcld 8927 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
6 elfz3nn0 10071 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
7 faccl 10669 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
87nncnd 8892 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
96, 8syl 14 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
104nncnd 8892 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  CC )
112nncnd 8892 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  CC )
122nnap0d 8924 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R ) #  0 )
1310, 11, 12divcanap4d 8713 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  =  ( ! `  ( N  -  R
) ) )
1413, 4eqeltrd 2247 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
15 bcval2 10684 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) ) )
16 bccl2 10702 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  e.  NN )
1715, 16eqeltrrd 2248 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) ) )  e.  NN )
18 nndivtr 8920 . 2  |-  ( ( ( ( ! `  R )  e.  NN  /\  ( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) )  / 
( ! `  R
) )  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  R ) )  e.  NN )
192, 5, 9, 14, 17, 18syl32anc 1241 1  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774    x. cmul 7779    - cmin 8090    / cdiv 8589   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ...cfz 9965   !cfa 10659    _C cbc 10681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-seqfrec 10402  df-fac 10660  df-bc 10682
This theorem is referenced by:  eirraplem  11739
  Copyright terms: Public domain W3C validator