ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  permnn Unicode version

Theorem permnn 10410
Description: The number of permutations of  N  -  R objects from a collection of  N objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9787 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  R  e.  NN0 )
21faccld 10375 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  NN )
3 fznn0sub 9730 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  R )  e.  NN0 )
43faccld 10375 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  NN )
54, 2nnmulcld 8679 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
6 elfz3nn0 9788 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
7 faccl 10374 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
87nncnd 8644 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
96, 8syl 14 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
104nncnd 8644 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  ( N  -  R ) )  e.  CC )
112nncnd 8644 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R )  e.  CC )
122nnap0d 8676 . . . 4  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ! `  R ) #  0 )
1310, 11, 12divcanap4d 8469 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  =  ( ! `  ( N  -  R
) ) )
1413, 4eqeltrd 2191 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
15 bcval2 10389 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) ) )
16 bccl2 10407 . . 3  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  R )  e.  NN )
1715, 16eqeltrrd 2192 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) ) )  e.  NN )
18 nndivtr 8672 . 2  |-  ( ( ( ( ! `  R )  e.  NN  /\  ( ( ! `  ( N  -  R
) )  x.  ( ! `  R )
)  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  /\  ( ( ( ( ! `  ( N  -  R ) )  x.  ( ! `  R ) )  / 
( ! `  R
) )  e.  NN  /\  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  R )
)  x.  ( ! `
 R ) ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  R ) )  e.  NN )
192, 5, 9, 14, 17, 18syl32anc 1207 1  |-  ( R  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( ! `  N
)  /  ( ! `
 R ) )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   0cc0 7547    x. cmul 7552    - cmin 7856    / cdiv 8345   NNcn 8630   NN0cn0 8881   ...cfz 9683   !cfa 10364    _C cbc 10386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-seqfrec 10112  df-fac 10365  df-bc 10387
This theorem is referenced by:  eirraplem  11331
  Copyright terms: Public domain W3C validator