Theorem permnn 10993

Description: The number of permutations of N - R objects from a collection of N objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	|- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10310	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> R e. NN0 )
2	1	faccld 10958	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) e. NN )
3		fznn0sub 10253	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N - R ) e. NN0 )
4	3	faccld 10958	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` ( N - R ) ) e. NN )
5	4, 2	nnmulcld 9159	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) e. NN )
6		elfz3nn0 10311	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
7		faccl 10957	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
8	7	nncnd 9124	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
10	4	nncnd 9124	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` ( N - R ) ) e. CC )
11	2	nncnd 9124	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) e. CC )
12	2	nnap0d 9156	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) # 0 )
13	10, 11, 12	divcanap4d 8943	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) = ( ! ` ( N - R ) ) )
14	13, 4	eqeltrd 2306	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) e. NN )
15		bcval2 10972	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N _C R ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) )
16		bccl2 10990	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N _C R ) e. NN )
17	15, 16	eqeltrrd 2307	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) e. NN )
18		nndivtr 9152	. 2 |- ( ( ( ( ! ` R ) e. NN /\ ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) e. NN /\ ( ! ` N ) e. CC ) /\ ( ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) e. NN /\ ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) e. NN ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )
19	2, 5, 9, 14, 17, 18	syl32anc 1279	1 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   x. cmul 8004   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ...cfz 10204   !cfa 10947   _C cbc 10969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-seqfrec 10670  df-fac 10948  df-bc 10970

This theorem is referenced by:  eirraplem  12288