Theorem permnn 11232

Description: The number of permutations of N - R objects from a collection of N objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	|- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10538	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> R e. NN0 )
2	1	faccld 11196	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) e. NN )
3		fznn0sub 10480	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N - R ) e. NN0 )
4	3	faccld 11196	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` ( N - R ) ) e. NN )
5	4, 2	nnmulcld 9362	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) e. NN )
6		elfz3nn0 10539	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
7		faccl 11195	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
8	7	nncnd 9327	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
9	6, 8	syl 14	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` N ) e. CC )
10	4	nncnd 9327	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` ( N - R ) ) e. CC )
11	2	nncnd 9327	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) e. CC )
12	2	nnap0d 9359	. . . 4 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ! ` R ) # 0 )
13	10, 11, 12	divcanap4d 9134	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) = ( ! ` ( N - R ) ) )
14	13, 4	eqeltrd 2315	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) e. NN )
15		bcval2 11210	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N _C R ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) )
16		bccl2 11228	. . 3 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( N _C R ) e. NN )
17	15, 16	eqeltrrd 2316	. 2 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) e. NN )
18		nndivtr 9355	. 2 |- ( ( ( ( ! ` R ) e. NN /\ ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) e. NN /\ ( ! ` N ) e. CC ) /\ ( ( ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) / ( ! ` R ) ) e. NN /\ ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - R ) ) x. ( ! ` R ) ) ) e. NN ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )
19	2, 5, 9, 14, 17, 18	syl32anc 1286	1 |- ( R e. ( 0 ... N ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` R ) ) e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   0cc0 8185   x. cmul 8190   - cmin 8504   / cdiv 9010   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ...cfz 10428   !cfa 11185   _C cbc 11207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-fac 11186  df-bc 11208

This theorem is used by:  eirraplem  12569