Theorem fzoss1 10315

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 10288	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzss1 10205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5		fzoval 10290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
7		fzoval 10290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
9	4, 6, 8	3sstr4d 3242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10	9	sseld 3196	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
11	10	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
12	2, 11	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
13	12	ex 115	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
14	13	ssrdv 3203	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3170  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  1c1 7946   − cmin 8263  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668  ...cfz 10150  ..^cfzo 10284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285

This theorem is referenced by:  fzo0ss1  10318  fzosplit  10321  zpnn0elfzo  10358  fzofzp1  10378  fzostep1  10388  ccatval2  11077  ccatass  11087  swrdval2  11127  fsumparts  11856