Theorem fzoss1 10295

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 10268	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzss1 10185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5		fzoval 10270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
7		fzoval 10270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
9	4, 6, 8	3sstr4d 3238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10	9	sseld 3192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
11	10	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
12	2, 11	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
13	12	ex 115	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
14	13	ssrdv 3199	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ⊆ wss 3166  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  1c1 7926   − cmin 8243  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648  ...cfz 10130  ..^cfzo 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  fzo0ss1  10298  fzosplit  10301  zpnn0elfzo  10336  fzofzp1  10356  fzostep1  10366  ccatval2  11054  ccatass  11064  swrdval2  11104  fsumparts  11781