Theorem fzoss1 10165

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Proof of Theorem fzoss1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 10140	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		fzss1 10057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5		fzoval 10142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) = (𝐾...(𝑁 − 1)))
7		fzoval 10142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
9	4, 6, 8	3sstr4d 3200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
10	9	sseld 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
11	10	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
12	2, 11	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
13	12	ex 115	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
14	13	ssrdv 3161	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  1c1 7808   − cmin 8123  ℤcz 9248  ℤ_≥cuz 9523  ...cfz 10003  ..^cfzo 10136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-fz 10004  df-fzo 10137

This theorem is referenced by:  fzo0ss1  10168  fzosplit  10171  zpnn0elfzo  10201  fzofzp1  10221  fzostep1  10231  fsumparts  11470