Theorem fzprval 10239

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	|- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9433	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		fzpr 10234	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
4		df-2 9130	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
5	4	oveq2i 5978	. . . 4 |- ( 1 ... 2 ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
6	4	preq2i 3724	. . . 4 |- { 1 , 2 } = { 1 , ( 1 + 1 ) }
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2238	. . 3 |- ( 1 ... 2 ) = { 1 , 2 }
8	7	raleqi 2709	. 2 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) )
9		1ex 8102	. . 3 |- 1 e. _V
10		2ex 9143	. . 3 |- 2 e. _V
11		fveq2 5599	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
12		iftrue 3584	. . . 4 |- ( x = 1 -> if ( x = 1 , A , B ) = A )
13	11, 12	eqeq12d 2222	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 1 ) = A ) )
14		fveq2 5599	. . . 4 |- ( x = 2 -> ( F ` x ) = ( F ` 2 ) )
15		1ne2 9278	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 2
16	15	necomi 2463	. . . . . . 7 |- 2 =/= 1
17		pm13.181 2460	. . . . . . 7 |- ( ( x = 2 /\ 2 =/= 1 ) -> x =/= 1 )
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( x = 2 -> x =/= 1 )
19	18	neneqd 2399	. . . . 5 |- ( x = 2 -> -. x = 1 )
20	19	iffalsed 3589	. . . 4 |- ( x = 2 -> if ( x = 1 , A , B ) = B )
21	14, 20	eqeq12d 2222	. . 3 |- ( x = 2 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 2 ) = B ) )
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3698	. 2 |- ( A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )
23	8, 22	bitri 184	1 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   A.wral 2486   ifcif 3579   {cpr 3644   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   1c1 7961   + caddc 7963   2c2 9122   ZZcz 9407   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by: (None)