Theorem fzprval 10151

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	|- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9346	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		fzpr 10146	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
4		df-2 9043	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
5	4	oveq2i 5930	. . . 4 |- ( 1 ... 2 ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
6	4	preq2i 3700	. . . 4 |- { 1 , 2 } = { 1 , ( 1 + 1 ) }
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2224	. . 3 |- ( 1 ... 2 ) = { 1 , 2 }
8	7	raleqi 2694	. 2 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) )
9		1ex 8016	. . 3 |- 1 e. _V
10		2ex 9056	. . 3 |- 2 e. _V
11		fveq2 5555	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
12		iftrue 3563	. . . 4 |- ( x = 1 -> if ( x = 1 , A , B ) = A )
13	11, 12	eqeq12d 2208	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 1 ) = A ) )
14		fveq2 5555	. . . 4 |- ( x = 2 -> ( F ` x ) = ( F ` 2 ) )
15		1ne2 9191	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 2
16	15	necomi 2449	. . . . . . 7 |- 2 =/= 1
17		pm13.181 2446	. . . . . . 7 |- ( ( x = 2 /\ 2 =/= 1 ) -> x =/= 1 )
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( x = 2 -> x =/= 1 )
19	18	neneqd 2385	. . . . 5 |- ( x = 2 -> -. x = 1 )
20	19	iffalsed 3568	. . . 4 |- ( x = 2 -> if ( x = 1 , A , B ) = B )
21	14, 20	eqeq12d 2208	. . 3 |- ( x = 2 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 2 ) = B ) )
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3674	. 2 |- ( A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )
23	8, 22	bitri 184	1 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   ifcif 3558   {cpr 3620   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1c1 7875   + caddc 7877   2c2 9035   ZZcz 9320   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by: (None)