ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzprval Unicode version

Theorem fzprval 9463
Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on 
NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fzprval  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fzprval
StepHypRef Expression
1 1z 8746 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 fzpr 9458 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
31, 2ax-mp 7 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
4 df-2 8452 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
54oveq2i 5645 . . . 4  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
64preq2i 3518 . . . 4  |-  { 1 ,  2 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
73, 5, 63eqtr4i 2118 . . 3  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
87raleqi 2566 . 2  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B
) )
9 1ex 7462 . . 3  |-  1  e.  _V
10 2ex 8465 . . 3  |-  2  e.  _V
11 fveq2 5289 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
12 iftrue 3394 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  A )
1311, 12eqeq12d 2102 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  1
)  =  A ) )
14 fveq2 5289 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
2 ) )
15 1ne2 8592 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
1615necomi 2340 . . . . . . 7  |-  2  =/=  1
17 pm13.181 2337 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  2  /\  2  =/=  1 )  ->  x  =/=  1
)
1816, 17mpan2 416 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  x  =/=  1 )
1918neneqd 2276 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  -.  x  =  1 )
2019iffalsed 3399 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  B )
2114, 20eqeq12d 2102 . . 3  |-  ( x  =  2  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  2
)  =  B ) )
229, 10, 13, 21ralpr 3492 . 2  |-  ( A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
238, 22bitri 182 1  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   A.wral 2359   ifcif 3389   {cpr 3442   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1c1 7330    + caddc 7332   2c2 8444   ZZcz 8720   ...cfz 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator