Theorem fzprval 10017

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	|- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9217	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		fzpr 10012	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
4		df-2 8916	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
5	4	oveq2i 5853	. . . 4 |- ( 1 ... 2 ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
6	4	preq2i 3657	. . . 4 |- { 1 , 2 } = { 1 , ( 1 + 1 ) }
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2196	. . 3 |- ( 1 ... 2 ) = { 1 , 2 }
8	7	raleqi 2665	. 2 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) )
9		1ex 7894	. . 3 |- 1 e. _V
10		2ex 8929	. . 3 |- 2 e. _V
11		fveq2 5486	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
12		iftrue 3525	. . . 4 |- ( x = 1 -> if ( x = 1 , A , B ) = A )
13	11, 12	eqeq12d 2180	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 1 ) = A ) )
14		fveq2 5486	. . . 4 |- ( x = 2 -> ( F ` x ) = ( F ` 2 ) )
15		1ne2 9063	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 2
16	15	necomi 2421	. . . . . . 7 |- 2 =/= 1
17		pm13.181 2418	. . . . . . 7 |- ( ( x = 2 /\ 2 =/= 1 ) -> x =/= 1 )
18	16, 17	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( x = 2 -> x =/= 1 )
19	18	neneqd 2357	. . . . 5 |- ( x = 2 -> -. x = 1 )
20	19	iffalsed 3530	. . . 4 |- ( x = 2 -> if ( x = 1 , A , B ) = B )
21	14, 20	eqeq12d 2180	. . 3 |- ( x = 2 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 2 ) = B ) )
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3631	. 2 |- ( A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )
23	8, 22	bitri 183	1 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   ifcif 3520   {cpr 3577   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1c1 7754   + caddc 7756   2c2 8908   ZZcz 9191   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945

This theorem is referenced by: (None)