Theorem fzprval 9463

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	|- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 8746	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		fzpr 9458	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
4		df-2 8452	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
5	4	oveq2i 5645	. . . 4 |- ( 1 ... 2 ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
6	4	preq2i 3518	. . . 4 |- { 1 , 2 } = { 1 , ( 1 + 1 ) }
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2118	. . 3 |- ( 1 ... 2 ) = { 1 , 2 }
8	7	raleqi 2566	. 2 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) )
9		1ex 7462	. . 3 |- 1 e. _V
10		2ex 8465	. . 3 |- 2 e. _V
11		fveq2 5289	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
12		iftrue 3394	. . . 4 |- ( x = 1 -> if ( x = 1 , A , B ) = A )
13	11, 12	eqeq12d 2102	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 1 ) = A ) )
14		fveq2 5289	. . . 4 |- ( x = 2 -> ( F ` x ) = ( F ` 2 ) )
15		1ne2 8592	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 2
16	15	necomi 2340	. . . . . . 7 |- 2 =/= 1
17		pm13.181 2337	. . . . . . 7 |- ( ( x = 2 /\ 2 =/= 1 ) -> x =/= 1 )
18	16, 17	mpan2 416	. . . . . 6 |- ( x = 2 -> x =/= 1 )
19	18	neneqd 2276	. . . . 5 |- ( x = 2 -> -. x = 1 )
20	19	iffalsed 3399	. . . 4 |- ( x = 2 -> if ( x = 1 , A , B ) = B )
21	14, 20	eqeq12d 2102	. . 3 |- ( x = 2 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 2 ) = B ) )
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3492	. 2 |- ( A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )
23	8, 22	bitri 182	1 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   A.wral 2359   ifcif 3389   {cpr 3442   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1c1 7330   + caddc 7332   2c2 8444   ZZcz 8720   ...cfz 9393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394

This theorem is referenced by: (None)