ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzprval Unicode version

Theorem fzprval 9813
Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on 
NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fzprval  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fzprval
StepHypRef Expression
1 1z 9034 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 fzpr 9808 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
4 df-2 8739 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
54oveq2i 5751 . . . 4  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
64preq2i 3572 . . . 4  |-  { 1 ,  2 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
73, 5, 63eqtr4i 2146 . . 3  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
87raleqi 2605 . 2  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B
) )
9 1ex 7725 . . 3  |-  1  e.  _V
10 2ex 8752 . . 3  |-  2  e.  _V
11 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
12 iftrue 3447 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  A )
1311, 12eqeq12d 2130 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  1
)  =  A ) )
14 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
2 ) )
15 1ne2 8880 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
1615necomi 2368 . . . . . . 7  |-  2  =/=  1
17 pm13.181 2365 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  2  /\  2  =/=  1 )  ->  x  =/=  1
)
1816, 17mpan2 419 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  x  =/=  1 )
1918neneqd 2304 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  -.  x  =  1 )
2019iffalsed 3452 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  B )
2114, 20eqeq12d 2130 . . 3  |-  ( x  =  2  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  2
)  =  B ) )
229, 10, 13, 21ralpr 3546 . 2  |-  ( A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
238, 22bitri 183 1  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2283   A.wral 2391   ifcif 3442   {cpr 3496   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1c1 7585    + caddc 7587   2c2 8731   ZZcz 9008   ...cfz 9741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator