Theorem fzprval 9893

Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
fzprval	|- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem fzprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9104	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
2		fzpr 9888	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) } )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) }
4		df-2 8803	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
5	4	oveq2i 5793	. . . 4 |- ( 1 ... 2 ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
6	4	preq2i 3612	. . . 4 |- { 1 , 2 } = { 1 , ( 1 + 1 ) }
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2171	. . 3 |- ( 1 ... 2 ) = { 1 , 2 }
8	7	raleqi 2633	. 2 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) )
9		1ex 7785	. . 3 |- 1 e. _V
10		2ex 8816	. . 3 |- 2 e. _V
11		fveq2 5429	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
12		iftrue 3484	. . . 4 |- ( x = 1 -> if ( x = 1 , A , B ) = A )
13	11, 12	eqeq12d 2155	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 1 ) = A ) )
14		fveq2 5429	. . . 4 |- ( x = 2 -> ( F ` x ) = ( F ` 2 ) )
15		1ne2 8950	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 2
16	15	necomi 2394	. . . . . . 7 |- 2 =/= 1
17		pm13.181 2391	. . . . . . 7 |- ( ( x = 2 /\ 2 =/= 1 ) -> x =/= 1 )
18	16, 17	mpan2 422	. . . . . 6 |- ( x = 2 -> x =/= 1 )
19	18	neneqd 2330	. . . . 5 |- ( x = 2 -> -. x = 1 )
20	19	iffalsed 3489	. . . 4 |- ( x = 2 -> if ( x = 1 , A , B ) = B )
21	14, 20	eqeq12d 2155	. . 3 |- ( x = 2 -> ( ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( F ` 2 ) = B ) )
22	9, 10, 13, 21	ralpr 3586	. 2 |- ( A. x e. { 1 , 2 } ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )
23	8, 22	bitri 183	1 |- ( A. x e. ( 1 ... 2 ) ( F ` x ) = if ( x = 1 , A , B ) <-> ( ( F ` 1 ) = A /\ ( F ` 2 ) = B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   A.wral 2417   ifcif 3479   {cpr 3533   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1c1 7645   + caddc 7647   2c2 8795   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by: (None)