Theorem gsummgmpropd 13500

Description: A stronger version of gsumpropd 13498 if at least one of the involved structures is a magma, see gsumpropd2 13499. (Contributed by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummgmpropd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
gsummgmpropd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
gsummgmpropd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
gsummgmpropd.b	⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
gsummgmpropd.m	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
gsummgmpropd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
gsummgmpropd.n	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
gsummgmpropd.r	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummgmpropd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠,𝑡   𝐺,𝑠,𝑡   𝐻,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑡,𝑠)   𝑊(𝑡,𝑠)   𝑋(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem gsummgmpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummgmpropd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		gsummgmpropd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3		gsummgmpropd.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
4		gsummgmpropd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
5		gsummgmpropd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mgm)
6		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7	mgmcl 13465	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
9	8	3expib 1232	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
10	5, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺)))
11	10	imp 124	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) ∈ (Base‘𝐺))
12		gsummgmpropd.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑠(+g‘𝐺)𝑡) = (𝑠(+g‘𝐻)𝑡))
13		gsummgmpropd.n	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
14		gsummgmpropd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝐺))
15	1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14	gsumpropd2 13499	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199  ran crn 4728  Fun wfun 5322  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183   Σ_g cgsu 13363  Mgmcmgm 13460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-0g 13364  df-igsum 13365  df-mgm 13462

This theorem is referenced by: (None)