Theorem ltnqpri 7727

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpri	|- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpri

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7498	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4735	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simpld 112	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4		nqprlu 7680	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
6	2	simprd 114	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
7		nqprlu 7680	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
9		ltdfpr 7639	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
11		vex 2776	. . . . . . 7 |- x e. _V
12		breq2 4055	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
13		ltnqex 7682	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q A } e. _V
14		gtnqex 7683	. . . . . . . 8 |- { u | A <Q u } e. _V
15	13, 14	op2nd 6246	. . . . . . 7 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
16	11, 12, 15	elab2 2925	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
17		breq1 4054	. . . . . . 7 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
18		ltnqex 7682	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q B } e. _V
19		gtnqex 7683	. . . . . . . 8 |- { u | B <Q u } e. _V
20	18, 19	op1st 6245	. . . . . . 7 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
21	11, 17, 20	elab2 2925	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
22	16, 21	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
23	22	rexbii 2514	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
24	10, 23	bitrdi 196	. . 3 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
25		ltbtwnnqq 7548	. . 3 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
26	24, 25	bitr4di 198	. 2 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> A <Q B ) )
27	26	ibir 177	1 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2177   {cab 2192   E.wrex 2486   <.cop 3641   class class class wbr 4051   ` cfv 5280   1stc1st 6237   2ndc2nd 6238   Q.cnq 7413   <Q cltq 7418   P.cnp 7424   <P cltp 7428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-1nqqs 7484  df-rq 7485  df-ltnqqs 7486  df-inp 7599  df-iltp 7603

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  7816  caucvgprprlemloccalc  7817  caucvgprprlemnjltk  7824  caucvgprprlemlol  7831  caucvgprprlemupu  7833  suplocexprlemloc  7854