Theorem ltnqpri 7153

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpri	|- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpri

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6924	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4490	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simpld 110	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4		nqprlu 7106	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
6	2	simprd 112	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
7		nqprlu 7106	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
9		ltdfpr 7065	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 403	. . . 4 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
11		vex 2622	. . . . . . 7 |- x e. _V
12		breq2 3849	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
13		ltnqex 7108	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q A } e. _V
14		gtnqex 7109	. . . . . . . 8 |- { u | A <Q u } e. _V
15	13, 14	op2nd 5918	. . . . . . 7 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
16	11, 12, 15	elab2 2763	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
17		breq1 3848	. . . . . . 7 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
18		ltnqex 7108	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q B } e. _V
19		gtnqex 7109	. . . . . . . 8 |- { u | B <Q u } e. _V
20	18, 19	op1st 5917	. . . . . . 7 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
21	11, 17, 20	elab2 2763	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
22	16, 21	anbi12i 448	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
23	22	rexbii 2385	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
24	10, 23	syl6bb 194	. . 3 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
25		ltbtwnnqq 6974	. . 3 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
26	24, 25	syl6bbr 196	. 2 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> A <Q B ) )
27	26	ibir 175	1 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1438   {cab 2074   E.wrex 2360   <.cop 3449   class class class wbr 3845   ` cfv 5015   1stc1st 5909   2ndc2nd 5910   Q.cnq 6839   <Q cltq 6844   P.cnp 6850   <P cltp 6854

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-inp 7025  df-iltp 7029

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  7242  caucvgprprlemloccalc  7243  caucvgprprlemnjltk  7250  caucvgprprlemlol  7257  caucvgprprlemupu  7259