ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpri Unicode version

Theorem ltnqpri 7153
Description: We can order fractions via  <Q or  <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpri  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
Distinct variable groups:    A, l    u, A    B, l    u, B

Proof of Theorem ltnqpri
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6924 . . . . . . . 8  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4490 . . . . . . 7  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
32simpld 110 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  A  e. 
Q. )
4 nqprlu 7106 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
53, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
62simprd 112 . . . . . 6  |-  ( A 
<Q  B  ->  B  e. 
Q. )
7 nqprlu 7106 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )
9 ltdfpr 7065 . . . . 5  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  e.  P.  /\ 
<. { l  |  l 
<Q  B } ,  {
u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
105, 8, 9syl2anc 403 . . . 4  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
11 vex 2622 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
12 breq2 3849 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  x ) )
13 ltnqex 7108 . . . . . . . 8  |-  { l  |  l  <Q  A }  e.  _V
14 gtnqex 7109 . . . . . . . 8  |-  { u  |  A  <Q  u }  e.  _V
1513, 14op2nd 5918 . . . . . . 7  |-  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  =  { u  |  A  <Q  u }
1611, 12, 15elab2 2763 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  <->  A  <Q  x )
17 breq1 3848 . . . . . . 7  |-  ( l  =  x  ->  (
l  <Q  B  <->  x  <Q  B ) )
18 ltnqex 7108 . . . . . . . 8  |-  { l  |  l  <Q  B }  e.  _V
19 gtnqex 7109 . . . . . . . 8  |-  { u  |  B  <Q  u }  e.  _V
2018, 19op1st 5917 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  =  { l  |  l 
<Q  B }
2111, 17, 20elab2 2763 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  <->  x  <Q  B )
2216, 21anbi12i 448 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2322rexbii 2385 . . . 4  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2410, 23syl6bb 194 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) ) )
25 ltbtwnnqq 6974 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2624, 25syl6bbr 196 . 2  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  A  <Q  B ) )
2726ibir 175 1  |-  ( A 
<Q  B  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   {cab 2074   E.wrex 2360   <.cop 3449   class class class wbr 3845   ` cfv 5015   1stc1st 5909   2ndc2nd 5910   Q.cnq 6839    <Q cltq 6844   P.cnp 6850    <P cltp 6854
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-inp 7025  df-iltp 7029
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  7242  caucvgprprlemloccalc  7243  caucvgprprlemnjltk  7250  caucvgprprlemlol  7257  caucvgprprlemupu  7259
  Copyright terms: Public domain W3C validator