Theorem ltnqpri 7535

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpri	|- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpri

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7306	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4656	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simpld 111	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4		nqprlu 7488	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
6	2	simprd 113	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
7		nqprlu 7488	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
9		ltdfpr 7447	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 409	. . . 4 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
11		vex 2729	. . . . . . 7 |- x e. _V
12		breq2 3986	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
13		ltnqex 7490	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q A } e. _V
14		gtnqex 7491	. . . . . . . 8 |- { u | A <Q u } e. _V
15	13, 14	op2nd 6115	. . . . . . 7 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
16	11, 12, 15	elab2 2874	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
17		breq1 3985	. . . . . . 7 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
18		ltnqex 7490	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q B } e. _V
19		gtnqex 7491	. . . . . . . 8 |- { u | B <Q u } e. _V
20	18, 19	op1st 6114	. . . . . . 7 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
21	11, 17, 20	elab2 2874	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
22	16, 21	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
23	22	rexbii 2473	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
24	10, 23	bitrdi 195	. . 3 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
25		ltbtwnnqq 7356	. . 3 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
26	24, 25	bitr4di 197	. 2 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> A <Q B ) )
27	26	ibir 176	1 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   {cab 2151   E.wrex 2445   <.cop 3579   class class class wbr 3982   ` cfv 5188   1stc1st 6106   2ndc2nd 6107   Q.cnq 7221   <Q cltq 7226   P.cnp 7232   <P cltp 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-inp 7407  df-iltp 7411

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  7624  caucvgprprlemloccalc  7625  caucvgprprlemnjltk  7632  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemupu  7641  suplocexprlemloc  7662