Theorem ltnqpri 7654

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpri	|- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpri

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7425	. . . . . . . 8 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4711	. . . . . . 7 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simpld 112	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> A e. Q. )
4		nqprlu 7607	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
6	2	simprd 114	. . . . . 6 |- ( A <Q B -> B e. Q. )
7		nqprlu 7607	. . . . . 6 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
9		ltdfpr 7566	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
11		vex 2763	. . . . . . 7 |- x e. _V
12		breq2 4033	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
13		ltnqex 7609	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q A } e. _V
14		gtnqex 7610	. . . . . . . 8 |- { u | A <Q u } e. _V
15	13, 14	op2nd 6200	. . . . . . 7 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
16	11, 12, 15	elab2 2908	. . . . . 6 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
17		breq1 4032	. . . . . . 7 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
18		ltnqex 7609	. . . . . . . 8 |- { l | l <Q B } e. _V
19		gtnqex 7610	. . . . . . . 8 |- { u | B <Q u } e. _V
20	18, 19	op1st 6199	. . . . . . 7 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
21	11, 17, 20	elab2 2908	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
22	16, 21	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
23	22	rexbii 2501	. . . 4 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
24	10, 23	bitrdi 196	. . 3 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
25		ltbtwnnqq 7475	. . 3 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
26	24, 25	bitr4di 198	. 2 |- ( A <Q B -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> A <Q B ) )
27	26	ibir 177	1 |- ( A <Q B -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   <.cop 3621   class class class wbr 4029   ` cfv 5254   1stc1st 6191   2ndc2nd 6192   Q.cnq 7340   <Q cltq 7345   P.cnp 7351   <P cltp 7355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-inp 7526  df-iltp 7530

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemk  7743  caucvgprprlemloccalc  7744  caucvgprprlemnjltk  7751  caucvgprprlemlol  7758  caucvgprprlemupu  7760  suplocexprlemloc  7781