Theorem gtnqex 7617

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7430	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7432	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4715	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
4	3	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3258	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4171	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  {cab 2182  Vcvv 2763   class class class wbr 4033  Qcnq 7347   <_Q cltq 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-qs 6598  df-ni 7371  df-nqqs 7415  df-ltnqqs 7420

This theorem is referenced by:  nqprl  7618  nqpru  7619  1prl  7622  1pru  7623  addnqprlemrl  7624  addnqprlemru  7625  addnqprlemfl  7626  addnqprlemfu  7627  mulnqprlemrl  7640  mulnqprlemru  7641  mulnqprlemfl  7642  mulnqprlemfu  7643  ltnqpr  7660  ltnqpri  7661  archpr  7710  cauappcvgprlemladdfu  7721  cauappcvgprlemladdfl  7722  cauappcvgprlem2  7727  caucvgprlemladdfu  7744  caucvgprlem2  7747  caucvgprprlemopu  7766  suplocexprlemloc  7788