Theorem gtnqex 7670

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7483	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7485	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4731	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
4	3	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3269	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4186	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  {cab 2192  Vcvv 2773   class class class wbr 4047  Qcnq 7400   <_Q cltq 7405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-qs 6633  df-ni 7424  df-nqqs 7468  df-ltnqqs 7473

This theorem is referenced by:  nqprl  7671  nqpru  7672  1prl  7675  1pru  7676  addnqprlemrl  7677  addnqprlemru  7678  addnqprlemfl  7679  addnqprlemfu  7680  mulnqprlemrl  7693  mulnqprlemru  7694  mulnqprlemfl  7695  mulnqprlemfu  7696  ltnqpr  7713  ltnqpri  7714  archpr  7763  cauappcvgprlemladdfu  7774  cauappcvgprlemladdfl  7775  cauappcvgprlem2  7780  caucvgprlemladdfu  7797  caucvgprlem2  7800  caucvgprprlemopu  7819  suplocexprlemloc  7841