Theorem gtnqex 7763

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7576	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7578	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4776	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
4	3	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3300	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4225	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  {cab 2215  Vcvv 2800   class class class wbr 4086  Qcnq 7493   <_Q cltq 7498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-qs 6703  df-ni 7517  df-nqqs 7561  df-ltnqqs 7566

This theorem is referenced by:  nqprl  7764  nqpru  7765  1prl  7768  1pru  7769  addnqprlemrl  7770  addnqprlemru  7771  addnqprlemfl  7772  addnqprlemfu  7773  mulnqprlemrl  7786  mulnqprlemru  7787  mulnqprlemfl  7788  mulnqprlemfu  7789  ltnqpr  7806  ltnqpri  7807  archpr  7856  cauappcvgprlemladdfu  7867  cauappcvgprlemladdfl  7868  cauappcvgprlem2  7873  caucvgprlemladdfu  7890  caucvgprlem2  7893  caucvgprprlemopu  7912  suplocexprlemloc  7934