Theorem gtnqex 7698

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7511	. 2 ⊢ Q ∈ V
2		ltrelnq 7513	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	2	brel 4745	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
4	3	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝑥 → 𝑥 ∈ Q)
5	4	abssi 3276	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ⊆ Q
6	1, 5	ssexi 4198	1 ⊢ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2178  {cab 2193  Vcvv 2776   class class class wbr 4059  Qcnq 7428   <_Q cltq 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-qs 6649  df-ni 7452  df-nqqs 7496  df-ltnqqs 7501

This theorem is referenced by:  nqprl  7699  nqpru  7700  1prl  7703  1pru  7704  addnqprlemrl  7705  addnqprlemru  7706  addnqprlemfl  7707  addnqprlemfu  7708  mulnqprlemrl  7721  mulnqprlemru  7722  mulnqprlemfl  7723  mulnqprlemfu  7724  ltnqpr  7741  ltnqpri  7742  archpr  7791  cauappcvgprlemladdfu  7802  cauappcvgprlemladdfl  7803  cauappcvgprlem2  7808  caucvgprlemladdfu  7825  caucvgprlem2  7828  caucvgprprlemopu  7847  suplocexprlemloc  7869