ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnqpr Unicode version

Theorem ltnqpr 7206
Description: We can order fractions via  <Q or  <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltnqpr  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)
Distinct variable groups:    A, l    u, A    B, l    u, B

Proof of Theorem ltnqpr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqprlu 7160 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  e.  P. )
2 nqprlu 7160 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )
3 ltdfpr 7119 . . . 4  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  A } ,  {
u  |  A  <Q  u } >.  e.  P.  /\ 
<. { l  |  l 
<Q  B } ,  {
u  |  B  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 284 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. ) ) ) )
5 vex 2623 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
6 breq2 3855 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  ( A  <Q  u  <->  A  <Q  x ) )
7 ltnqex 7162 . . . . . . 7  |-  { l  |  l  <Q  A }  e.  _V
8 gtnqex 7163 . . . . . . 7  |-  { u  |  A  <Q  u }  e.  _V
97, 8op2nd 5932 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  =  { u  |  A  <Q  u }
105, 6, 9elab2 2764 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  <->  A  <Q  x )
11 breq1 3854 . . . . . 6  |-  ( l  =  x  ->  (
l  <Q  B  <->  x  <Q  B ) )
12 ltnqex 7162 . . . . . . 7  |-  { l  |  l  <Q  B }  e.  _V
13 gtnqex 7163 . . . . . . 7  |-  { u  |  B  <Q  u }  e.  _V
1412, 13op1st 5931 . . . . . 6  |-  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  =  { l  |  l 
<Q  B }
155, 11, 14elab2 2764 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )  <->  x  <Q  B )
1610, 15anbi12i 449 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
1716rexbii 2386 . . 3  |-  ( E. x  e.  Q.  (
x  e.  ( 2nd `  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >. )  /\  x  e.  ( 1st `  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
184, 17syl6bb 195 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >.  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) ) )
19 ltbtwnnqq 7028 . 2  |-  ( A 
<Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  <Q  x  /\  x  <Q  B ) )
2018, 19syl6rbbr 198 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  <. { l  |  l  <Q  A } ,  { u  |  A  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  B } ,  { u  |  B  <Q  u } >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1439   {cab 2075   E.wrex 2361   <.cop 3453   class class class wbr 3851   ` cfv 5028   1stc1st 5923   2ndc2nd 5924   Q.cnq 6893    <Q cltq 6898   P.cnp 6904    <P cltp 6908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-pli 6918  df-mi 6919  df-lti 6920  df-plpq 6957  df-mpq 6958  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-plqqs 6962  df-mqqs 6963  df-1nqqs 6964  df-rq 6965  df-ltnqqs 6966  df-inp 7079  df-iltp 7083
This theorem is referenced by:  prplnqu  7233  ltrennb  7445
  Copyright terms: Public domain W3C validator