Theorem ltnqpr 7206

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpr	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqprlu 7160	. . . 4 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
2		nqprlu 7160	. . . 4 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
3		ltdfpr 7119	. . . 4 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 284	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
5		vex 2623	. . . . . 6 |- x e. _V
6		breq2 3855	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
7		ltnqex 7162	. . . . . . 7 |- { l | l <Q A } e. _V
8		gtnqex 7163	. . . . . . 7 |- { u | A <Q u } e. _V
9	7, 8	op2nd 5932	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
10	5, 6, 9	elab2 2764	. . . . 5 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
11		breq1 3854	. . . . . 6 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
12		ltnqex 7162	. . . . . . 7 |- { l | l <Q B } e. _V
13		gtnqex 7163	. . . . . . 7 |- { u | B <Q u } e. _V
14	12, 13	op1st 5931	. . . . . 6 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
15	5, 11, 14	elab2 2764	. . . . 5 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
16	10, 15	anbi12i 449	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
17	16	rexbii 2386	. . 3 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
18	4, 17	syl6bb 195	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
19		ltbtwnnqq 7028	. 2 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
20	18, 19	syl6rbbr 198	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   {cab 2075   E.wrex 2361   <.cop 3453   class class class wbr 3851   ` cfv 5028   1stc1st 5923   2ndc2nd 5924   Q.cnq 6893   <Q cltq 6898   P.cnp 6904   <P cltp 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-pli 6918  df-mi 6919  df-lti 6920  df-plpq 6957  df-mpq 6958  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-plqqs 6962  df-mqqs 6963  df-1nqqs 6964  df-rq 6965  df-ltnqqs 6966  df-inp 7079  df-iltp 7083

This theorem is referenced by:  prplnqu  7233  ltrennb  7445