Theorem ltnqpr 7660

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpr	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7482	. 2 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
2		nqprlu 7614	. . . 4 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
3		nqprlu 7614	. . . 4 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
4		ltdfpr 7573	. . . 4 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
6		vex 2766	. . . . . 6 |- x e. _V
7		breq2 4037	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
8		ltnqex 7616	. . . . . . 7 |- { l | l <Q A } e. _V
9		gtnqex 7617	. . . . . . 7 |- { u | A <Q u } e. _V
10	8, 9	op2nd 6205	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
11	6, 7, 10	elab2 2912	. . . . 5 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
12		breq1 4036	. . . . . 6 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
13		ltnqex 7616	. . . . . . 7 |- { l | l <Q B } e. _V
14		gtnqex 7617	. . . . . . 7 |- { u | B <Q u } e. _V
15	13, 14	op1st 6204	. . . . . 6 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
16	6, 12, 15	elab2 2912	. . . . 5 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
17	11, 16	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
18	17	rexbii 2504	. . 3 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
19	5, 18	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
20	1, 19	bitr4id 199	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   <.cop 3625   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   1stc1st 6196   2ndc2nd 6197   Q.cnq 7347   <Q cltq 7352   P.cnp 7358   <P cltp 7362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-inp 7533  df-iltp 7537

This theorem is referenced by:  prplnqu  7687  ltrennb  7921