Theorem ltnqpr 7813

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpr	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7635	. 2 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
2		nqprlu 7767	. . . 4 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
3		nqprlu 7767	. . . 4 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
4		ltdfpr 7726	. . . 4 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
6		vex 2805	. . . . . 6 |- x e. _V
7		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
8		ltnqex 7769	. . . . . . 7 |- { l | l <Q A } e. _V
9		gtnqex 7770	. . . . . . 7 |- { u | A <Q u } e. _V
10	8, 9	op2nd 6310	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
11	6, 7, 10	elab2 2954	. . . . 5 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
12		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
13		ltnqex 7769	. . . . . . 7 |- { l | l <Q B } e. _V
14		gtnqex 7770	. . . . . . 7 |- { u | B <Q u } e. _V
15	13, 14	op1st 6309	. . . . . 6 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
16	6, 12, 15	elab2 2954	. . . . 5 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
17	11, 16	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
18	17	rexbii 2539	. . 3 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
19	5, 18	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
20	1, 19	bitr4id 199	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   {cab 2217   E.wrex 2511   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   1stc1st 6301   2ndc2nd 6302   Q.cnq 7500   <Q cltq 7505   P.cnp 7511   <P cltp 7515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-inp 7686  df-iltp 7690

This theorem is referenced by:  prplnqu  7840  ltrennb  8074