Theorem ltnqpr 7655

Description: We can order fractions via <Q or <P. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqpr	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Distinct variable groups:   A, l   u, A   B, l   u, B

Proof of Theorem ltnqpr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnnqq 7477	. 2 |- ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
2		nqprlu 7609	. . . 4 |- ( A e. Q. -> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. )
3		nqprlu 7609	. . . 4 |- ( B e. Q. -> <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. )
4		ltdfpr 7568	. . . 4 |- ( ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. e. P. /\ <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. e. P. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) ) )
6		vex 2763	. . . . . 6 |- x e. _V
7		breq2 4034	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A <Q u <-> A <Q x ) )
8		ltnqex 7611	. . . . . . 7 |- { l | l <Q A } e. _V
9		gtnqex 7612	. . . . . . 7 |- { u | A <Q u } e. _V
10	8, 9	op2nd 6202	. . . . . 6 |- ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) = { u | A <Q u }
11	6, 7, 10	elab2 2909	. . . . 5 |- ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) <-> A <Q x )
12		breq1 4033	. . . . . 6 |- ( l = x -> ( l <Q B <-> x <Q B ) )
13		ltnqex 7611	. . . . . . 7 |- { l | l <Q B } e. _V
14		gtnqex 7612	. . . . . . 7 |- { u | B <Q u } e. _V
15	13, 14	op1st 6201	. . . . . 6 |- ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) = { l | l <Q B }
16	6, 12, 15	elab2 2909	. . . . 5 |- ( x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) <-> x <Q B )
17	11, 16	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> ( A <Q x /\ x <Q B ) )
18	17	rexbii 2501	. . 3 |- ( E. x e. Q. ( x e. ( 2nd ` <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. ) /\ x e. ( 1st ` <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) ) <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) )
19	5, 18	bitrdi 196	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. <-> E. x e. Q. ( A <Q x /\ x <Q B ) ) )
20	1, 19	bitr4id 199	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> <. { l | l <Q A } , { u | A <Q u } >. <P <. { l | l <Q B } , { u | B <Q u } >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   {cab 2179   E.wrex 2473   <.cop 3622   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   1stc1st 6193   2ndc2nd 6194   Q.cnq 7342   <Q cltq 7347   P.cnp 7353   <P cltp 7357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-inp 7528  df-iltp 7532

This theorem is referenced by:  prplnqu  7682  ltrennb  7916