Theorem hashfinmndnn 12764

Description: A finite monoid has positive integer size. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashfinmndnn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
hashfinmndnn.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
hashfinmndnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
hashfinmndnn	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem hashfinmndnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfinmndnn.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
2		hashcl 10753	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
4		hashfinmndnn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		hashfinmndnn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7	5, 6	mndidcl 12762	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9	8, 1	fihashelne0d 10769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐵) = 0)
10	9	neqned 2354	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≠ 0)
11		elnnne0 9185	. 2 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ≠ 0))
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ‘cfv 5214  Fincfn 6736  0cc0 7807  ℕcn 8914  ℕ₀cn0 9171  ♯chash 10747  Basecbs 12453  0_gc0g 12692  Mndcmnd 12748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-recs 6302  df-frec 6388  df-1o 6413  df-er 6531  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-inn 8915  df-2 8973  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-fz 10004  df-ihash 10748  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459  df-plusg 12540  df-0g 12694  df-mgm 12706  df-sgrp 12739  df-mnd 12749

This theorem is referenced by:  hashfingrpnn  12840