Theorem hashp1i 11064

Description: Size of a natural number ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashp1i.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
hashp1i.2	⊢ 𝐵 = suc 𝐴
hashp1i.3	⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
hashp1i.4	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashp1i	⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Proof of Theorem hashp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashp1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = suc 𝐴
2		df-suc 4466	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
3	1, 2	eqtri 2250	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∪ {𝐴})
4	3	fveq2i 5638	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
5		hashp1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ω
6		nnfi 7054	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
8		nnord 4708	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
9		ordirr 4638	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
10	5, 8, 9	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
11		hashunsng 11061	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1))
13	7, 10, 12	mp2an 426	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)
14		hashp1i.3	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
15	14	oveq1i 6023	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = (𝑀 + 1)
16		hashp1i.4	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
17	15, 16	eqtri 2250	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = 𝑁
18	13, 17	eqtri 2250	. 2 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = 𝑁
19	4, 18	eqtri 2250	1 ⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3196  {csn 3667  Ord word 4457  suc csuc 4460  ωcom 4686  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  1c1 8023   + caddc 8025  ♯chash 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-ihash 11028

This theorem is referenced by:  hash1  11065  hash2  11066  hash3  11067  hash4  11068