Theorem hashp1i 11045

Description: Size of a natural number ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashp1i.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
hashp1i.2	⊢ 𝐵 = suc 𝐴
hashp1i.3	⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
hashp1i.4	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashp1i	⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Proof of Theorem hashp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashp1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = suc 𝐴
2		df-suc 4462	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
3	1, 2	eqtri 2250	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∪ {𝐴})
4	3	fveq2i 5632	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
5		hashp1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ω
6		nnfi 7042	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
8		nnord 4704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
9		ordirr 4634	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
10	5, 8, 9	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
11		hashunsng 11042	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1))
13	7, 10, 12	mp2an 426	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)
14		hashp1i.3	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
15	14	oveq1i 6017	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = (𝑀 + 1)
16		hashp1i.4	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
17	15, 16	eqtri 2250	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = 𝑁
18	13, 17	eqtri 2250	. 2 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = 𝑁
19	4, 18	eqtri 2250	1 ⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {csn 3666  Ord word 4453  suc csuc 4456  ωcom 4682  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  1c1 8011   + caddc 8013  ♯chash 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-ihash 11010

This theorem is referenced by:  hash1  11046  hash2  11047  hash3  11048  hash4  11049