ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashp1i GIF version

Theorem hashp1i 10695
Description: Size of a natural number ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1 𝐴 ∈ ω
hashp1i.2 𝐵 = suc 𝐴
hashp1i.3 (♯‘𝐴) = 𝑀
hashp1i.4 (𝑀 + 1) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
hashp1i (♯‘𝐵) = 𝑁

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4 𝐵 = suc 𝐴
2 df-suc 4333 . . . 4 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
31, 2eqtri 2178 . . 3 𝐵 = (𝐴 ∪ {𝐴})
43fveq2i 5473 . 2 (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
5 hashp1i.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ω
6 nnfi 6819 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 𝐴 ∈ Fin
8 nnord 4573 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
9 ordirr 4503 . . . . 5 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
105, 8, 9mp2b 8 . . . 4 ¬ 𝐴𝐴
11 hashunsng 10692 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
125, 11ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1))
137, 10, 12mp2an 423 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)
14 hashp1i.3 . . . . 5 (♯‘𝐴) = 𝑀
1514oveq1i 5836 . . . 4 ((♯‘𝐴) + 1) = (𝑀 + 1)
16 hashp1i.4 . . . 4 (𝑀 + 1) = 𝑁
1715, 16eqtri 2178 . . 3 ((♯‘𝐴) + 1) = 𝑁
1813, 17eqtri 2178 . 2 (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = 𝑁
194, 18eqtri 2178 1 (♯‘𝐵) = 𝑁
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  cun 3100  {csn 3561  Ord word 4324  suc csuc 4327  ωcom 4551  cfv 5172  (class class class)co 5826  Fincfn 6687  1c1 7735   + caddc 7737  chash 10660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-frec 6340  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6482  df-en 6688  df-dom 6689  df-fin 6690  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919  df-ihash 10661
This theorem is referenced by:  hash1  10696  hash2  10697  hash3  10698  hash4  10699
  Copyright terms: Public domain W3C validator