Theorem hashp1i 10588

Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashp1i.1	⊢ 𝐴 ∈ ω
hashp1i.2	⊢ 𝐵 = suc 𝐴
hashp1i.3	⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
hashp1i.4	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
hashp1i	⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Proof of Theorem hashp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashp1i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = suc 𝐴
2		df-suc 4301	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
3	1, 2	eqtri 2161	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ∪ {𝐴})
4	3	fveq2i 5432	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
5		hashp1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ω
6		nnfi 6774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
8		nnord 4533	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
9		ordirr 4465	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
10	5, 8, 9	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
11		hashunsng 10585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
12	5, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1))
13	7, 10, 12	mp2an 423	. . 3 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)
14		hashp1i.3	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = 𝑀
15	14	oveq1i 5792	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = (𝑀 + 1)
16		hashp1i.4	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
17	15, 16	eqtri 2161	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) + 1) = 𝑁
18	13, 17	eqtri 2161	. 2 ⊢ (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = 𝑁
19	4, 18	eqtri 2161	1 ⊢ (♯‘𝐵) = 𝑁

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3074  {csn 3532  Ord word 4292  suc csuc 4295  ωcom 4512  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  Fincfn 6642  1c1 7645   + caddc 7647  ♯chash 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-ihash 10554

This theorem is referenced by:  hash1  10589  hash2  10590  hash3  10591  hash4  10592