ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashp1i GIF version

Theorem hashp1i 10524
Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1 𝐴 ∈ ω
hashp1i.2 𝐵 = suc 𝐴
hashp1i.3 (♯‘𝐴) = 𝑀
hashp1i.4 (𝑀 + 1) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
hashp1i (♯‘𝐵) = 𝑁

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4 𝐵 = suc 𝐴
2 df-suc 4263 . . . 4 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
31, 2eqtri 2138 . . 3 𝐵 = (𝐴 ∪ {𝐴})
43fveq2i 5392 . 2 (♯‘𝐵) = (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴}))
5 hashp1i.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ω
6 nnfi 6734 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 𝐴 ∈ Fin
8 nnord 4495 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
9 ordirr 4427 . . . . 5 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
105, 8, 9mp2b 8 . . . 4 ¬ 𝐴𝐴
11 hashunsng 10521 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)))
125, 11ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴𝐴) → (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1))
137, 10, 12mp2an 422 . . 3 (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = ((♯‘𝐴) + 1)
14 hashp1i.3 . . . . 5 (♯‘𝐴) = 𝑀
1514oveq1i 5752 . . . 4 ((♯‘𝐴) + 1) = (𝑀 + 1)
16 hashp1i.4 . . . 4 (𝑀 + 1) = 𝑁
1715, 16eqtri 2138 . . 3 ((♯‘𝐴) + 1) = 𝑁
1813, 17eqtri 2138 . 2 (♯‘(𝐴 ∪ {𝐴})) = 𝑁
194, 18eqtri 2138 1 (♯‘𝐵) = 𝑁
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  cun 3039  {csn 3497  Ord word 4254  suc csuc 4257  ωcom 4474  cfv 5093  (class class class)co 5742  Fincfn 6602  1c1 7589   + caddc 7591  chash 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-ihash 10490
This theorem is referenced by:  hash1  10525  hash2  10526  hash3  10527  hash4  10528
  Copyright terms: Public domain W3C validator