Theorem imasabl 14003

Description: The image structure of an abelian group is an abelian group (imasgrp 13778 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasabl.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasabl.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasabl.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
imasabl.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasabl.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasabl.r	|- ( ph -> R e. Abel )
imasabl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasabl	|- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Distinct variable groups:   B, a, b, p, q   F, a, b, p, q   R, p, q   U, a, b, p, q   V, a, b, p, q   .+ , p, q   .0. , a, b, p, q   ph, a, b, p, q

Allowed substitution hints:   .+ ( a, b)   R( a, b)

Proof of Theorem imasabl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasabl.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasabl.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasabl.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
4		imasabl.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
5		imasabl.e	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
6		imasabl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Abel )
7	6	ablgrpd 13957	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
8		imasabl.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	imasgrp 13778	. . 3 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
10	1, 2, 4, 6	imasbas 13470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` U ) = B )
12	11	eleq2d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` U ) <-> x e. B ) )
13	11	eleq2d 2301	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` U ) <-> y e. B ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
16		foelcdmi 5707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V -onto-> B /\ x e. B ) -> E. a e. V ( F ` a ) = x )
17	16	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : V -onto-> B -> ( x e. B -> E. a e. V ( F ` a ) = x ) )
18		foelcdmi 5707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V -onto-> B /\ y e. B ) -> E. b e. V ( F ` b ) = y )
19	18	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : V -onto-> B -> ( y e. B -> E. b e. V ( F ` b ) = y ) )
20	17, 19	anim12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
21	4, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
23	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> R e. Abel )
24	2	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( a e. V <-> a e. ( Base ` R ) ) )
25	24	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( a e. V -> a e. ( Base ` R ) ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( a e. V -> a e. ( Base ` R ) ) )
27	26	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> a e. ( Base ` R ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> a e. ( Base ` R ) )
29	2	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( b e. V <-> b e. ( Base ` R ) ) )
30	29	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
33	32	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> b e. ( Base ` R ) )
34		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
35		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
36	34, 35	ablcom 13970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Abel /\ a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( b ( +g ` R ) a ) )
37	23, 28, 33, 36	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( b ( +g ` R ) a ) )
38	37	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
39		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ph )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> a e. V )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> a e. V )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> b e. V )
43	3	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( +g ` R ) = .+ )
44	43	oveqd 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( a .+ b ) )
45	44	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( a .+ b ) ) )
46	43	oveqd 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( p ( +g ` R ) q ) = ( p .+ q ) )
47	46	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) <-> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
49	48	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) <-> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
50	5, 49	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
51		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
52	4, 50, 1, 2, 6, 35, 51	imasaddval 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a e. V /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
53	39, 41, 42, 52	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
54	4, 50, 1, 2, 6, 35, 51	imasaddval 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ b e. V /\ a e. V ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
55	39, 42, 41, 54	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
56	38, 53, 55	3eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) )
58		oveq12 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` a ) = x /\ ( F ` b ) = y ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( x ( +g ` U ) y ) )
59	58	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( x ( +g ` U ) y ) )
60		oveq12 6037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
61	59, 60	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) <-> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) <-> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
63	57, 62	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
64	63	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) = y -> ( ( F ` a ) = x -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
65	64	rexlimdva 2651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( ( F ` a ) = x -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( ( F ` a ) = x -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
67	66	rexlimdva 2651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
68	67	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
69	22, 68	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
70	15, 69	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
71	70	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
72	71	ralrimivva 2615	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
73		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
74	72, 73	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
75	9, 74	mpdan 421	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
76		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
77	76, 51	isabl2 13961	. . . 4 |- ( U e. Abel <-> ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
78	77	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
79		an21 471	. . 3 |- ( ( ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
80	78, 79	bitri 184	. 2 |- ( ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
81	75, 80	sylibr 134	1 |- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   "_s cimas 13462   Grpcgrp 13663   Abelcabl 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-0g 13421  df-iimas 13465  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-cmn 13953  df-abl 13954

This theorem is referenced by:  imasrng  14050