Theorem imasabl 13406

Description: The image structure of an abelian group is an abelian group (imasgrp 13181 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasabl.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasabl.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasabl.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
imasabl.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasabl.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasabl.r	|- ( ph -> R e. Abel )
imasabl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasabl	|- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Distinct variable groups:   B, a, b, p, q   F, a, b, p, q   R, p, q   U, a, b, p, q   V, a, b, p, q   .+ , p, q   .0. , a, b, p, q   ph, a, b, p, q

Allowed substitution hints:   .+ ( a, b)   R( a, b)

Proof of Theorem imasabl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasabl.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasabl.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasabl.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
4		imasabl.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
5		imasabl.e	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
6		imasabl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Abel )
7	6	ablgrpd 13360	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
8		imasabl.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	imasgrp 13181	. . 3 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
10	1, 2, 4, 6	imasbas 12890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` U ) = B )
12	11	eleq2d 2263	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` U ) <-> x e. B ) )
13	11	eleq2d 2263	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` U ) <-> y e. B ) )
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
16		foelcdmi 5609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V -onto-> B /\ x e. B ) -> E. a e. V ( F ` a ) = x )
17	16	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : V -onto-> B -> ( x e. B -> E. a e. V ( F ` a ) = x ) )
18		foelcdmi 5609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V -onto-> B /\ y e. B ) -> E. b e. V ( F ` b ) = y )
19	18	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : V -onto-> B -> ( y e. B -> E. b e. V ( F ` b ) = y ) )
20	17, 19	anim12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
21	4, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
23	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> R e. Abel )
24	2	eleq2d 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( a e. V <-> a e. ( Base ` R ) ) )
25	24	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( a e. V -> a e. ( Base ` R ) ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( a e. V -> a e. ( Base ` R ) ) )
27	26	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> a e. ( Base ` R ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> a e. ( Base ` R ) )
29	2	eleq2d 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( b e. V <-> b e. ( Base ` R ) ) )
30	29	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
33	32	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> b e. ( Base ` R ) )
34		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
35		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
36	34, 35	ablcom 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Abel /\ a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( b ( +g ` R ) a ) )
37	23, 28, 33, 36	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( b ( +g ` R ) a ) )
38	37	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
39		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ph )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> a e. V )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> a e. V )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> b e. V )
43	3	eqcomd 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( +g ` R ) = .+ )
44	43	oveqd 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( a .+ b ) )
45	44	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( a .+ b ) ) )
46	43	oveqd 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( p ( +g ` R ) q ) = ( p .+ q ) )
47	46	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) <-> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
49	48	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) <-> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
50	5, 49	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
51		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
52	4, 50, 1, 2, 6, 35, 51	imasaddval 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a e. V /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
53	39, 41, 42, 52	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
54	4, 50, 1, 2, 6, 35, 51	imasaddval 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ b e. V /\ a e. V ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
55	39, 42, 41, 54	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
56	38, 53, 55	3eqtr4d 2236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) )
58		oveq12 5927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` a ) = x /\ ( F ` b ) = y ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( x ( +g ` U ) y ) )
59	58	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( x ( +g ` U ) y ) )
60		oveq12 5927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
61	59, 60	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) <-> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) <-> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
63	57, 62	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
64	63	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) = y -> ( ( F ` a ) = x -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
65	64	rexlimdva 2611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( ( F ` a ) = x -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( ( F ` a ) = x -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
67	66	rexlimdva 2611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
68	67	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
69	22, 68	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
70	15, 69	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
71	70	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
72	71	ralrimivva 2576	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
73		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
74	72, 73	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
75	9, 74	mpdan 421	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
76		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
77	76, 51	isabl2 13364	. . . 4 |- ( U e. Abel <-> ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
78	77	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
79		an21 471	. . 3 |- ( ( ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
80	78, 79	bitri 184	. 2 |- ( ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
81	75, 80	sylibr 134	1 |- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   "_s cimas 12882   Grpcgrp 13072   Abelcabl 13355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-cmn 13356  df-abl 13357

This theorem is referenced by:  imasrng  13452