Theorem imasabl 14117

Description: The image structure of an abelian group is an abelian group (imasgrp 13891 analog). (Contributed by AV, 22-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasabl.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasabl.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasabl.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
imasabl.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasabl.e	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasabl.r	|- ( ph -> R e. Abel )
imasabl.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
imasabl	|- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Distinct variable groups:   B, a, b, p, q   F, a, b, p, q   R, p, q   U, a, b, p, q   V, a, b, p, q   .+ , p, q   .0. , a, b, p, q   ph, a, b, p, q

Allowed substitution hints:   .+ ( a, b)   R( a, b)

Proof of Theorem imasabl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasabl.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasabl.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasabl.p	. . . 4 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
4		imasabl.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
5		imasabl.e	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
6		imasabl.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Abel )
7	6	ablgrpd 14070	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
8		imasabl.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	imasgrp 13891	. . 3 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
10	1, 2, 4, 6	imasbas 13605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
11	10	eqcomd 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` U ) = B )
12	11	eleq2d 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` U ) <-> x e. B ) )
13	11	eleq2d 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` U ) <-> y e. B ) )
14	12, 13	anbi12d 477	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) )
16		foelcdmi 5749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V -onto-> B /\ x e. B ) -> E. a e. V ( F ` a ) = x )
17	16	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : V -onto-> B -> ( x e. B -> E. a e. V ( F ` a ) = x ) )
18		foelcdmi 5749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : V -onto-> B /\ y e. B ) -> E. b e. V ( F ` b ) = y )
19	18	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : V -onto-> B -> ( y e. B -> E. b e. V ( F ` b ) = y ) )
20	17, 19	anim12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
21	4, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) ) )
23	6	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> R e. Abel )
24	2	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( a e. V <-> a e. ( Base ` R ) ) )
25	24	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( a e. V -> a e. ( Base ` R ) ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( a e. V -> a e. ( Base ` R ) ) )
27	26	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> a e. ( Base ` R ) )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> a e. ( Base ` R ) )
29	2	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( b e. V <-> b e. ( Base ` R ) ) )
30	29	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( b e. V -> b e. ( Base ` R ) ) )
33	32	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> b e. ( Base ` R ) )
34		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
35		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
36	34, 35	ablcom 14083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Abel /\ a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( b ( +g ` R ) a ) )
37	23, 28, 33, 36	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( b ( +g ` R ) a ) )
38	37	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
39		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ph )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> a e. V )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> a e. V )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> b e. V )
43	3	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( +g ` R ) = .+ )
44	43	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( a ( +g ` R ) b ) = ( a .+ b ) )
45	44	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( a .+ b ) ) )
46	43	oveqd 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( p ( +g ` R ) q ) = ( p .+ q ) )
47	46	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) <-> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
49	48	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) <-> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
50	5, 49	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( F ` ( p ( +g ` R ) q ) ) ) )
51		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
52	4, 50, 1, 2, 6, 35, 51	imasaddval 13616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ a e. V /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
53	39, 41, 42, 52	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( F ` ( a ( +g ` R ) b ) ) )
54	4, 50, 1, 2, 6, 35, 51	imasaddval 13616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ b e. V /\ a e. V ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
55	39, 42, 41, 54	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( F ` ( b ( +g ` R ) a ) ) )
56	38, 53, 55	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) )
58		oveq12 6084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` a ) = x /\ ( F ` b ) = y ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( x ( +g ` U ) y ) )
59	58	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( x ( +g ` U ) y ) )
60		oveq12 6084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
61	59, 60	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) -> ( ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) <-> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( ( ( F ` a ) ( +g ` U ) ( F ` b ) ) = ( ( F ` b ) ( +g ` U ) ( F ` a ) ) <-> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
63	57, 62	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) /\ ( ( F ` b ) = y /\ ( F ` a ) = x ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
64	63	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) /\ b e. V ) -> ( ( F ` b ) = y -> ( ( F ` a ) = x -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
65	64	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( ( F ` a ) = x -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ a e. V ) -> ( ( F ` a ) = x -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
67	66	rexlimdva 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( E. a e. V ( F ` a ) = x -> ( E. b e. V ( F ` b ) = y -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) ) )
68	67	impd 254	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( E. a e. V ( F ` a ) = x /\ E. b e. V ( F ` b ) = y ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
69	22, 68	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
70	15, 69	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
71	70	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) /\ ( x e. ( Base ` U ) /\ y e. ( Base ` U ) ) ) -> ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
72	71	ralrimivva 2632	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) )
73		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
74	72, 73	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) -> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
75	9, 74	mpdan 425	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
76		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
77	76, 51	isabl2 14074	. . . 4 |- ( U e. Abel <-> ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) )
78	77	anbi1i 462	. . 3 |- ( ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )
79		an21 475	. . 3 |- ( ( ( U e. Grp /\ A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) ) /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
80	78, 79	bitri 184	. 2 |- ( ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` U ) A. y e. ( Base ` U ) ( x ( +g ` U ) y ) = ( y ( +g ` U ) x ) /\ ( U e. Grp /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) ) )
81	75, 80	sylibr 134	1 |- ( ph -> ( U e. Abel /\ ( F ` .0. ) = ( 0g ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   -onto->wfo 5370   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   "_s cimas 13599   Grpcgrp 13782   Abelcabl 14065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-iimas 13601  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-cmn 14066  df-abl 14067

This theorem is referenced by:  imasrng  14230