Theorem isomninn 16358

Description: Omniscience stated in terms of natural numbers. Similar to isomnimap 7300 but it will sometimes be more convenient to use 0 and 1 rather than (/) and 1o. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isomninn	|- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = 0 \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V, x

Proof of Theorem isomninn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6007	. . . 4 |- ( a = x -> ( a + 1 ) = ( x + 1 ) )
2	1	cbvmptv 4179	. . 3 |- ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
3		freceq1 6536	. . 3 |- ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) -> frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
5	4	isomninnlem 16357	1 |- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = 0 \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {cpr 3667   |-> cmpt 4144   ` cfv 5317  (class class class)co 6000  freccfrec 6534   ^m cmap 6793  Omnicomni 7297   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   ZZcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-omni 7298  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719

This theorem is referenced by:  trilpolemlt1  16368  trilpo  16370