Theorem isomninn 15466

Description: Omniscience stated in terms of natural numbers. Similar to isomnimap 7186 but it will sometimes be more convenient to use 0 and 1 rather than (/) and 1o. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isomninn	|- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = 0 \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   f, V, x

Proof of Theorem isomninn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5917	. . . 4 |- ( a = x -> ( a + 1 ) = ( x + 1 ) )
2	1	cbvmptv 4125	. . 3 |- ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) )
3		freceq1 6436	. . 3 |- ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) = ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) -> frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- frec ( ( a e. ZZ |-> ( a + 1 ) ) , 0 ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
5	4	isomninnlem 15465	1 |- ( A e. V -> ( A e. Omni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ( E. x e. A ( f ` x ) = 0 \/ A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {cpr 3619   |-> cmpt 4090   ` cfv 5246  (class class class)co 5910  freccfrec 6434   ^m cmap 6693  Omnicomni 7183   0cc0 7862   1c1 7863   + caddc 7865   ZZcz 9307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-2o 6461  df-map 6695  df-omni 7184  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583

This theorem is referenced by:  trilpolemlt1  15476  trilpo  15478