Theorem isomninn 16310

Description: Omniscience stated in terms of natural numbers. Similar to isomnimap 7272 but it will sometimes be more convenient to use 0 and 1 rather than ∅ and 1_o. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isomninn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥

Proof of Theorem isomninn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5981	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 + 1) = (𝑥 + 1))
2	1	cbvmptv 4159	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))
3		freceq1 6508	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) → frec((𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ frec((𝑎 ∈ ℤ ↦ (𝑎 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
5	4	isomninnlem 16309	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Omni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)(∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 0 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 712   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ∃wrex 2489  {cpr 3647   ↦ cmpt 4124  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  freccfrec 6506   ↑_𝑚 cmap 6765  Omnicomni 7269  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970  ℤcz 9414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-recs 6421  df-frec 6507  df-1o 6532  df-2o 6533  df-map 6767  df-omni 7270  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691

This theorem is referenced by:  trilpolemlt1  16320  trilpo  16322