Theorem issubrgd 14214

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrgd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
issubrgd.z	⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
issubrgd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
issubrgd.ss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrgd.zcl	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
issubrgd.acl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.ncl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrgd.o	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
issubrgd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
issubrgd.ocl	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
issubrgd.tcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrgd.g	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
issubrgd	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦

Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrgd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝐼 ↾s 𝐷))
2		issubrgd.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐼))
3		issubrgd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐼))
4		issubrgd.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5		issubrgd.zcl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6		issubrgd.acl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7		issubrgd.ncl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8		issubrgd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Ring)
9		ringgrp 13763	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Grp)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 13526	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12		issubrgd.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐼))
13		issubrgd.ocl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
14	12, 13	eqeltrrd 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐷)
15		issubrgd.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐼))
16	15	oveqdr 5972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r‘𝐼)𝑦))
17		issubrgd.tcl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18	17	3expb 1207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
19	16, 18	eqeltrrd 2283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
20	19	ralrimivva 2588	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
23		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
24	21, 22, 23	issubrg2 14003	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
25	8, 24	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r‘𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥(.r‘𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1183	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484   ⊆ wss 3166  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  Basecbs 12832   ↾_s cress 12833  +_gcplusg 12909  ._rcmulr 12910  0_gc0g 13088  Grpcgrp 13332  inv_gcminusg 13333  SubGrpcsubg 13503  1_rcur 13721  Ringcrg 13758  SubRingcsubrg 13979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-subg 13506  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-subrg 13981

This theorem is referenced by: (None)