Theorem lidl1 13823

Description: Every ring contains a unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lidl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 13797	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
3		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	lss1 13695	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6		lidl1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rlmbasg 13788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2234	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
9		lidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10		lidlvalg 13804	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	9, 10	eqtrid 2234	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	5, 8, 11	3eltr4d 2273	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5235  Basecbs 12515  Ringcrg 13367  LModclmod 13620  LSubSpclss 13685  ringLModcrglmod 13767  LIdealclidl 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-ip 12610  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-subg 13126  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-subrg 13583  df-lmod 13622  df-lssm 13686  df-sra 13768  df-rgmod 13769  df-lidl 13802

This theorem is referenced by:  ridl1  13843  2idl1  13845