Theorem lidl1 14625

Description: Every ring contains a unit ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidl1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidl1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lidl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14599	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘𝑅)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
3		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	lss1 14497	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
6		lidl1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rlmbasg 14590	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2277	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
9		lidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
10		lidlvalg 14606	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
11	9, 10	eqtrid 2277	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑅)))
12	5, 8, 11	3eltr4d 2316	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  Basecbs 13201  Ringcrg 14129  LModclmod 14422  LSubSpclss 14487  ringLModcrglmod 14569  LIdealclidl 14602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-0g 13460  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-subg 13876  df-mgp 14054  df-ur 14093  df-ring 14131  df-subrg 14353  df-lmod 14424  df-lssm 14488  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604

This theorem is referenced by:  ridl1  14646  2idl1  14648