Theorem lidlsubcl 14507

Description: An ideal is closed under subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidlsubcl.m	|- .- = ( -g ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlsubcl	|- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .- Y ) e. I )

Proof of Theorem lidlsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlcl.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
2	1	lidlsubg 14506	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
3	2	3adant3 1043	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> I e. (SubGrp ` R ) )
4		simp3l 1051	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> X e. I )
5		simp3r 1052	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> Y e. I )
6		lidlsubcl.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` R )
7	6	subgsubcl 13777	. . 3 |- ( ( I e. (SubGrp ` R ) /\ X e. I /\ Y e. I ) -> ( X .- Y ) e. I )
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .- Y ) e. I )
9	8	3expa 1229	1 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( X e. I /\ Y e. I ) ) -> ( X .- Y ) e. I )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   -gcsg 13590  SubGrpcsubg 13759   Ringcrg 14015  LIdealclidl 14487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-iress 13095  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-sca 13181  df-vsca 13182  df-ip 13183  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-sbg 13593  df-subg 13762  df-mgp 13940  df-ur 13979  df-ring 14017  df-subrg 14239  df-lmod 14309  df-lssm 14373  df-sra 14455  df-rgmod 14456  df-lidl 14489

This theorem is referenced by: (None)