Theorem lidlsubg 14292

Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlsubg	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem lidlsubg

Dummy variables x j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		lidlcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
3	1, 2	lidlss 14282	. . 3 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I C_ ( Base ` R ) )
5		eqid 2206	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	2, 5	lidl0cl 14289	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) e. I )
7		elex2 2789	. . 3 |- ( ( 0g ` R ) e. I -> E. j j e. I )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> E. j j e. I )
9		eqid 2206	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
10	2, 9	lidlacl 14290	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( x e. I /\ y e. I ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
11	10	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) /\ y e. I ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
12	11	ralrimiva 2580	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
13		eqid 2206	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
14	2, 13	lidlnegcl 14291	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
15	14	3expa 1206	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
16	12, 15	jca 306	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
17	16	ralrimiva 2580	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
18		ringgrp 13807	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> R e. Grp )
20	1, 9, 13	issubg2m 13569	. . 3 |- ( R e. Grp -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
22	4, 8, 17, 21	mpbir3and 1183	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   A.wral 2485   C_ wss 3167   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   Basecbs 12876   +g cplusg 12953   0gc0g 13132   Grpcgrp 13376   invgcminusg 13377  SubGrpcsubg 13547   Ringcrg 13802  LIdealclidl 14273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-subg 13550  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804  df-subrg 14025  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275

This theorem is referenced by:  lidlsubcl  14293  dflidl2  14294  df2idl2  14315  2idlcpbl  14330  qus1  14332  qusrhm  14334  qusmul2  14335  quscrng  14339  zndvds  14455