Theorem lidlsubg 14806

Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlsubg	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem lidlsubg

Dummy variables x j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		lidlcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
3	1, 2	lidlss 14796	. . 3 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I C_ ( Base ` R ) )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	2, 5	lidl0cl 14803	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) e. I )
7		elex2 2838	. . 3 |- ( ( 0g ` R ) e. I -> E. j j e. I )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> E. j j e. I )
9		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
10	2, 9	lidlacl 14804	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( x e. I /\ y e. I ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
11	10	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) /\ y e. I ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
12	11	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
13		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
14	2, 13	lidlnegcl 14805	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
15	14	3expa 1234	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
16	12, 15	jca 306	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
17	16	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
18		ringgrp 14288	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> R e. Grp )
20	1, 9, 13	issubg2m 13975	. . 3 |- ( R e. Grp -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
22	4, 8, 17, 21	mpbir3and 1211	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Basecbs 13335   +g cplusg 13414   0gc0g 13593   Grpcgrp 13788   invgcminusg 13789  SubGrpcsubg 13953   Ringcrg 14283  LIdealclidl 14787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-subg 13956  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-subrg 14510  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789

This theorem is referenced by:  lidlsubcl  14807  dflidl2  14808  df2idl2  14829  2idlcpbl  14844  qus1  14846  qusrhm  14848  qusmul2  14849  quscrng  14853  zndvds  14967