Theorem lidlsubg 14933

Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlsubg	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem lidlsubg

Dummy variables x j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		lidlcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
3	1, 2	lidlss 14923	. . 3 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I C_ ( Base ` R ) )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	2, 5	lidl0cl 14930	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) e. I )
7		elex2 2838	. . 3 |- ( ( 0g ` R ) e. I -> E. j j e. I )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> E. j j e. I )
9		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
10	2, 9	lidlacl 14931	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( x e. I /\ y e. I ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
11	10	anassrs 404	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) /\ y e. I ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
12	11	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
13		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
14	2, 13	lidlnegcl 14932	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
15	14	3expa 1234	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
16	12, 15	jca 306	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
17	16	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
18		ringgrp 14413	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> R e. Grp )
20	1, 9, 13	issubg2m 14052	. . 3 |- ( R e. Grp -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
22	4, 8, 17, 21	mpbir3and 1211	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13411   +g cplusg 13491   0gc0g 13670   Grpcgrp 13865   invgcminusg 13866  SubGrpcsubg 14030   Ringcrg 14408  LIdealclidl 14914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-subg 14033  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-subrg 14637  df-lmod 14735  df-lssm 14800  df-sra 14882  df-rgmod 14883  df-lidl 14916

This theorem is used by:  lidlsubcl  14934  dflidl2  14935  df2idl2  14956  2idlcpbl  14971  qus1  14973  qusrhm  14975  qusmul2  14976  quscrng  14980  zndvds  15094