Theorem lidlsubg 14435

Description: An ideal is a subgroup of the additive group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lidlcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidlsubg	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem lidlsubg

Dummy variables x j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		lidlcl.u	. . . 4 |- U = (LIdeal ` R )
3	1, 2	lidlss 14425	. . 3 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` R ) )
4	3	adantl 277	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I C_ ( Base ` R ) )
5		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	2, 5	lidl0cl 14432	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( 0g ` R ) e. I )
7		elex2 2816	. . 3 |- ( ( 0g ` R ) e. I -> E. j j e. I )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> E. j j e. I )
9		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
10	2, 9	lidlacl 14433	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ ( x e. I /\ y e. I ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
11	10	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) /\ y e. I ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
12	11	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I )
13		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
14	2, 13	lidlnegcl 14434	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
15	14	3expa 1227	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( ( invg ` R ) ` x ) e. I )
16	12, 15	jca 306	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
17	16	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) )
18		ringgrp 13950	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> R e. Grp )
20	1, 9, 13	issubg2m 13712	. . 3 |- ( R e. Grp -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( I e. (SubGrp ` R ) <-> ( I C_ ( Base ` R ) /\ E. j j e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x ( +g ` R ) y ) e. I /\ ( ( invg ` R ) ` x ) e. I ) ) ) )
22	4, 8, 17, 21	mpbir3and 1204	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   +g cplusg 13096   0gc0g 13275   Grpcgrp 13519   invgcminusg 13520  SubGrpcsubg 13690   Ringcrg 13945  LIdealclidl 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-0g 13277  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-sbg 13524  df-subg 13693  df-mgp 13870  df-ur 13909  df-ring 13947  df-subrg 14168  df-lmod 14238  df-lssm 14302  df-sra 14384  df-rgmod 14385  df-lidl 14418

This theorem is referenced by:  lidlsubcl  14436  dflidl2  14437  df2idl2  14458  2idlcpbl  14473  qus1  14475  qusrhm  14477  qusmul2  14478  quscrng  14482  zndvds  14598