ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2msq Unicode version

Theorem lt2msq 8337
Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )

Proof of Theorem lt2msq
StepHypRef Expression
1 lt2msq1 8336 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)
213expia 1145 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  < 
B  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
32adantrr 463 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
4 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
5 simpll 496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  RR )
6 lt2msq1 8336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  A  e.  RR  /\  B  <  A )  ->  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
)
763expia 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  < 
A  ->  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
) )
84, 5, 7syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  <  A  ->  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
) )
98con3d 596 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( -.  ( B  x.  B
)  <  ( A  x.  A )  ->  -.  B  <  A ) )
105, 5remulcld 7508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
11 simprl 498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
1211, 11remulcld 7508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  x.  B )  e.  RR )
1310, 12lenltd 7591 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B
)  <->  -.  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
) )
145, 11lenltd 7591 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
159, 13, 143imtr4d 201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B
)  ->  A  <_  B ) )
165recnd 7506 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  CC )
1711recnd 7506 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  CC )
18 mulext 8081 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B )  ->  ( A #  B  \/  A #  B ) ) )
1916, 16, 17, 17, 18syl22anc 1175 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B
)  ->  ( A #  B  \/  A #  B
) ) )
20 oridm 709 . . . . 5  |-  ( ( A #  B  \/  A #  B )  <->  A #  B
)
2119, 20syl6ib 159 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B
)  ->  A #  B
) )
2215, 21anim12d 328 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  x.  A
)  <_  ( B  x.  B )  /\  ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B
) )  ->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
23 ltleap 8097 . . . 4  |-  ( ( ( A  x.  A
)  e.  RR  /\  ( B  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  A )  < 
( B  x.  B
)  <->  ( ( A  x.  A )  <_ 
( B  x.  B
)  /\  ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B ) ) ) )
2410, 12, 23syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B
)  <->  ( ( A  x.  A )  <_ 
( B  x.  B
)  /\  ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B ) ) ) )
25 ltleap 8097 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
265, 11, 25syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
2722, 24, 263imtr4d 201 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B
)  ->  A  <  B ) )
283, 27impbid 127 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    e. wcel 1438   class class class wbr 3843  (class class class)co 5644   CCcc 7338   RRcr 7339   0cc0 7340    x. cmul 7345    < clt 7512    <_ cle 7513   # cap 8048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-br 3844  df-opab 3898  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049
This theorem is referenced by:  le2msq  8352  lt2msqi  8365  lt2sq  10016
  Copyright terms: Public domain W3C validator