ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2msq Unicode version
Theorem lt2msq 8874
Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
Proof of Theorem lt2msq
StepHypRef Expression
1 lt2msq1 8873 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A x. A ) < ( B x. B ) )
213expia 1207 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
32adantrr 479 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B -> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
4 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
5 simpll 527 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
6 lt2msq1 8873 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ A e. RR /\ B < A ) -> ( B x. B ) < ( A x. A ) )
763expia 1207 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ A e. RR ) -> ( B < A -> ( B x. B ) < ( A x. A ) ) )
84, 5, 7syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B < A -> ( B x. B ) < ( A x. A ) ) )
98con3d 632 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( -. ( B x. B ) < ( A x. A ) -> -. B < A ) )
105, 5remulcld 8019 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. A ) e. RR )
11 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
1211, 11remulcld 8019 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. B ) e. RR )
1310, 12lenltd 8106 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) <-> -. ( B x. B ) < ( A x. A ) ) )
145, 11lenltd 8106 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
159, 13, 143imtr4d 203 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) -> A <_ B ) )
165recnd 8017 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
1711recnd 8017 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC )
18 mulext 8602 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A e. CC ) /\ ( B e. CC /\ B e. CC ) ) -> ( ( A x. A ) # ( B x. B ) -> ( A # B \/ A # B ) ) )
1916, 16, 17, 17, 18syl22anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) # ( B x. B ) -> ( A # B \/ A # B ) ) )
20 oridm 758 . . . . 5 |- ( ( A # B \/ A # B ) <-> A # B )
2119, 20imbitrdi 161 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) # ( B x. B ) -> A # B ) )
2215, 21anim12d 335 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( A x. A ) # ( B x. B ) ) -> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
23 ltleap 8620 . . . 4 |- ( ( ( A x. A ) e. RR /\ ( B x. B ) e. RR ) -> ( ( A x. A ) < ( B x. B ) <-> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( A x. A ) # ( B x. B ) ) ) )
2410, 12, 23syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) < ( B x. B ) <-> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( A x. A ) # ( B x. B ) ) ) )
25 ltleap 8620 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
265, 11, 25syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
2722, 24, 263imtr4d 203 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) < ( B x. B ) -> A < B ) )
283, 27impbid 129 1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   x. cmul 7847   < clt 8023   <_ cle 8024   # cap 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570
This theorem is referenced by:  le2msq  8889  lt2msqi  8902  lt2sq  10628
  Copyright terms: Public domain W3C validator