ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2msq Unicode version
Theorem lt2msq 8781
Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
Proof of Theorem lt2msq
StepHypRef Expression
1 lt2msq1 8780 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A x. A ) < ( B x. B ) )
213expia 1195 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
32adantrr 471 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B -> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
4 simpr 109 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
5 simpll 519 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. RR )
6 lt2msq1 8780 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ A e. RR /\ B < A ) -> ( B x. B ) < ( A x. A ) )
763expia 1195 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ A e. RR ) -> ( B < A -> ( B x. B ) < ( A x. A ) ) )
84, 5, 7syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B < A -> ( B x. B ) < ( A x. A ) ) )
98con3d 621 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( -. ( B x. B ) < ( A x. A ) -> -. B < A ) )
105, 5remulcld 7929 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. A ) e. RR )
11 simprl 521 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. RR )
1211, 11remulcld 7929 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( B x. B ) e. RR )
1310, 12lenltd 8016 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) <-> -. ( B x. B ) < ( A x. A ) ) )
145, 11lenltd 8016 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
159, 13, 143imtr4d 202 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) -> A <_ B ) )
165recnd 7927 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> A e. CC )
1711recnd 7927 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> B e. CC )
18 mulext 8512 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A e. CC ) /\ ( B e. CC /\ B e. CC ) ) -> ( ( A x. A ) # ( B x. B ) -> ( A # B \/ A # B ) ) )
1916, 16, 17, 17, 18syl22anc 1229 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) # ( B x. B ) -> ( A # B \/ A # B ) ) )
20 oridm 747 . . . . 5 |- ( ( A # B \/ A # B ) <-> A # B )
2119, 20syl6ib 160 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) # ( B x. B ) -> A # B ) )
2215, 21anim12d 333 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( A x. A ) # ( B x. B ) ) -> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
23 ltleap 8530 . . . 4 |- ( ( ( A x. A ) e. RR /\ ( B x. B ) e. RR ) -> ( ( A x. A ) < ( B x. B ) <-> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( A x. A ) # ( B x. B ) ) ) )
2410, 12, 23syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) < ( B x. B ) <-> ( ( A x. A ) <_ ( B x. B ) /\ ( A x. A ) # ( B x. B ) ) ) )
25 ltleap 8530 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
265, 11, 25syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
2722, 24, 263imtr4d 202 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A x. A ) < ( B x. B ) -> A < B ) )
283, 27impbid 128 1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A < B <-> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   # cap 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480
This theorem is referenced by:  le2msq  8796  lt2msqi  8809  lt2sq  10528
  Copyright terms: Public domain W3C validator