Theorem lt2msq1 9124

Description: Lemma for lt2msq 9125. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lt2msq1	|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A x. A ) < ( B x. B ) )

Proof of Theorem lt2msq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1048	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> A e. RR )
2	1, 1	remulcld 8269	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A x. A ) e. RR )
3		simp2 1025	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> B e. RR )
4	3, 1	remulcld 8269	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( B x. A ) e. RR )
5	3, 3	remulcld 8269	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( B x. B ) e. RR )
6		simp1 1024	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
7		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> A < B )
8	1, 3, 7	ltled 8357	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> A <_ B )
9		lemul1a 9097	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ A <_ B ) -> ( A x. A ) <_ ( B x. A ) )
10	1, 3, 6, 8, 9	syl31anc 1277	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A x. A ) <_ ( B x. A ) )
11		0red 8240	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> 0 e. RR )
12		simp1r 1049	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> 0 <_ A )
13	11, 1, 3, 12, 7	lelttrd 8363	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> 0 < B )
14		ltmul2 9095	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A < B <-> ( B x. A ) < ( B x. B ) ) )
15	1, 3, 3, 13, 14	syl112anc 1278	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A < B <-> ( B x. A ) < ( B x. B ) ) )
16	7, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( B x. A ) < ( B x. B ) )
17	2, 4, 5, 10, 16	lelttrd 8363	1 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR /\ A < B ) -> ( A x. A ) < ( B x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821

This theorem is referenced by:  lt2msq  9125