ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2msq1 Unicode version

Theorem lt2msq1 8818
Description: Lemma for lt2msq 8819. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)

Proof of Theorem lt2msq1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1021 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  e.  RR )
21, 1remulcld 7965 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
3 simp2 998 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  e.  RR )
43, 1remulcld 7965 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( B  x.  A )  e.  RR )
53, 3remulcld 7965 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( B  x.  B )  e.  RR )
6 simp1 997 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
7 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  <  B
)
81, 3, 7ltled 8053 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  <_  B
)
9 lemul1a 8791 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A )
)
101, 3, 6, 8, 9syl31anc 1241 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A )
)
11 0red 7936 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  0  e.  RR )
12 simp1r 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  0  <_  A
)
1311, 1, 3, 12, 7lelttrd 8059 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
)
14 ltmul2 8789 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( B  x.  A )  <  ( B  x.  B ) ) )
151, 3, 3, 13, 14syl112anc 1242 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  < 
B  <->  ( B  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
167, 15mpbid 147 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( B  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)
172, 4, 5, 10, 16lelttrd 8059 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   RRcr 7788   0cc0 7789    x. cmul 7794    < clt 7969    <_ cle 7970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516
This theorem is referenced by:  lt2msq  8819
  Copyright terms: Public domain W3C validator