ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2msq1 Unicode version

Theorem lt2msq1 8650
Description: Lemma for lt2msq 8651. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)

Proof of Theorem lt2msq1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1005 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  e.  RR )
21, 1remulcld 7803 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
3 simp2 982 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  e.  RR )
43, 1remulcld 7803 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( B  x.  A )  e.  RR )
53, 3remulcld 7803 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( B  x.  B )  e.  RR )
6 simp1 981 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
7 simp3 983 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  <  B
)
81, 3, 7ltled 7888 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  A  <_  B
)
9 lemul1a 8623 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A )
)
101, 3, 6, 8, 9syl31anc 1219 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  A )
)
11 0red 7774 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  0  e.  RR )
12 simp1r 1006 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  0  <_  A
)
1311, 1, 3, 12, 7lelttrd 7894 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
)
14 ltmul2 8621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( B  x.  A )  <  ( B  x.  B ) ) )
151, 3, 3, 13, 14syl112anc 1220 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  < 
B  <->  ( B  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
167, 15mpbid 146 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( B  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)
172, 4, 5, 10, 16lelttrd 7894 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627    x. cmul 7632    < clt 7807    <_ cle 7808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351
This theorem is referenced by:  lt2msq  8651
  Copyright terms: Public domain W3C validator