Theorem ltleap 8418

Description: Less than in terms of non-strict order and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltleap	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )

Proof of Theorem ltleap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 7875	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
2		orc 702	. . . 4 |- ( A < B -> ( A < B \/ B < A ) )
3		reaplt 8374	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
4	2, 3	syl5ibr 155	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A # B ) )
5	1, 4	jcad 305	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
6		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A <_ B )
7		lenlt 7864	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8	7	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
9	6, 8	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> -. B < A )
10		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A # B )
11	3	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
12	10, 11	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A < B \/ B < A ) )
13	9, 12	ecased 1328	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A < B )
14	13	ex 114	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ A # B ) -> A < B ) )
15	5, 14	impbid 128	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   < clt 7824   <_ cle 7825   # cap 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368

This theorem is referenced by:  recgt0  8632  prodgt0  8634  lt2msq  8668  zltlen  9153  qltlen  9459  egt2lt3  11522