Theorem ltleap 8204

Description: Less than in terms of non-strict order and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltleap	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )

Proof of Theorem ltleap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 7669	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
2		orc 671	. . . 4 |- ( A < B -> ( A < B \/ B < A ) )
3		reaplt 8162	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
4	2, 3	syl5ibr 155	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A # B ) )
5	1, 4	jcad 302	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
6		simprl 499	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A <_ B )
7		lenlt 7658	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8	7	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
9	6, 8	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> -. B < A )
10		simprr 500	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A # B )
11	3	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
12	10, 11	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A < B \/ B < A ) )
13	9, 12	ecased 1292	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A < B )
14	13	ex 114	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ A # B ) -> A < B ) )
15	5, 14	impbid 128	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 667   e. wcel 1445   class class class wbr 3867   RRcr 7446   < clt 7619   <_ cle 7620   # cap 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156

This theorem is referenced by:  recgt0  8408  prodgt0  8410  lt2msq  8444  zltlen  8923  qltlen  9224  egt2lt3  11216