Theorem ltleap 8968

Description: Less than in terms of non-strict order and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltleap	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )

Proof of Theorem ltleap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 8419	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )
2		orc 724	. . . 4 |- ( A < B -> ( A < B \/ B < A ) )
3		reaplt 8924	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
4	2, 3	imbitrrid 156	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A # B ) )
5	1, 4	jcad 307	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
6		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A <_ B )
7		lenlt 8407	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
9	6, 8	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> -. B < A )
10		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A # B )
11	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A # B <-> ( A < B \/ B < A ) ) )
12	10, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> ( A < B \/ B < A ) )
13	9, 12	ecased 1390	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( A <_ B /\ A # B ) ) -> A < B )
14	13	ex 115	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ A # B ) -> A < B ) )
15	5, 14	impbid 129	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367   # cap 8917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918

This theorem is used by:  recgt0  9188  prodgt0  9190  lt2msq  9224  zltlen  9735  qltlen  10056  egt2lt3  12572