ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2msq1 GIF version

Theorem lt2msq1 8845
Description: Lemma for lt2msq 8846. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))

Proof of Theorem lt2msq1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1021 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21, 1remulcld 7991 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3 simp2 998 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43, 1remulcld 7991 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
53, 3remulcld 7991 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6 simp1 997 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
7 simp3 999 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
81, 3, 7ltled 8079 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
9 lemul1a 8818 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
101, 3, 6, 8, 9syl31anc 1241 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
11 0red 7961 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
12 simp1r 1022 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
1311, 1, 3, 12, 7lelttrd 8085 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
14 ltmul2 8816 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ต ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
151, 3, 3, 13, 14syl112anc 1242 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ต ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
167, 15mpbid 147 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))
172, 4, 5, 10, 16lelttrd 8085 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  โ„cr 7813  0cc0 7814   ยท cmul 7819   < clt 7995   โ‰ค cle 7996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542
This theorem is referenced by:  lt2msq  8846
  Copyright terms: Public domain W3C validator