Theorem lt2sqi 10611

Description: The square function on nonnegative reals is strictly monotonic. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqcl.1	|- A e. RR
lt2sq.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
lt2sqi	|- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( A < B <-> ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem lt2sqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl.1	. . 3 |- A e. RR
2		lt2sq.2	. . 3 |- B e. RR
3	1, 2	lt2msqi 8874	. 2 |- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( A < B <-> ( A x. A ) < ( B x. B ) ) )
4	1	recni 7972	. . . 4 |- A e. CC
5	4	sqvali 10603	. . 3 |- ( A ^ 2 ) = ( A x. A )
6	2	recni 7972	. . . 4 |- B e. CC
7	6	sqvali 10603	. . 3 |- ( B ^ 2 ) = ( B x. B )
8	5, 7	breq12i 4014	. 2 |- ( ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) <-> ( A x. A ) < ( B x. B ) )
9	3, 8	bitr4di 198	1 |- ( ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) -> ( A < B <-> ( A ^ 2 ) < ( B ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814   x. cmul 7819   < clt 7995   <_ cle 7996   2c2 8973   ^cexp 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449  df-exp 10523

This theorem is referenced by:  cos2bnd  11771