Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodgt0 Unicode version

Theorem prodgt0 8622
 Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
prodgt0

Proof of Theorem prodgt0
StepHypRef Expression
1 simpllr 523 . . . . . . 7
21renegcld 8154 . . . . . 6
3 simplll 522 . . . . . . 7
43renegcld 8154 . . . . . 6
5 simplr 519 . . . . . . . 8
65lt0neg1d 8289 . . . . . . 7
76biimpa 294 . . . . . 6
8 simprr 521 . . . . . . . . 9
9 simpll 518 . . . . . . . . . . 11
109recnd 7806 . . . . . . . . . 10
115recnd 7806 . . . . . . . . . 10
1210, 11mul2negd 8187 . . . . . . . . 9
138, 12breqtrrd 3956 . . . . . . . 8
1410negcld 8072 . . . . . . . . 9
1511negcld 8072 . . . . . . . . 9
1614, 15mulcomd 7799 . . . . . . . 8
1713, 16breqtrd 3954 . . . . . . 7
1817adantr 274 . . . . . 6
19 prodgt0gt0 8621 . . . . . 6
202, 4, 7, 18, 19syl22anc 1217 . . . . 5
213lt0neg1d 8289 . . . . 5
2220, 21mpbird 166 . . . 4
23 simplrl 524 . . . . 5
24 0red 7779 . . . . . 6
2524, 3lenltd 7892 . . . . 5
2623, 25mpbid 146 . . . 4
2722, 26pm2.65da 650 . . 3
28 0red 7779 . . . 4
2928, 5lenltd 7892 . . 3
3027, 29mpbird 166 . 2
319, 5remulcld 7808 . . . . 5
3231, 8gt0ap0d 8403 . . . 4 #
3310, 11, 32mulap0bbd 8433 . . 3 #
34 0cnd 7771 . . . 4
35 apsym 8380 . . . 4 # #
3611, 34, 35syl2anc 408 . . 3 # #
3733, 36mpbid 146 . 2 #
38 ltleap 8406 . . 3 #
3928, 5, 38syl2anc 408 . 2 #
4030, 37, 39mpbir2and 928 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  cc0 7632   cmul 7637   clt 7812   cle 7813  cneg 7946   # cap 8355 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445 This theorem is referenced by:  prodgt02  8623  prodgt0i  8678  evennn2n  11591
 Copyright terms: Public domain W3C validator