Theorem zltlen 9329

Description: Integer 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. Also see ltleap 8587 which is a similar result for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zltlen	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ B =/= A ) ) )

Proof of Theorem zltlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9255	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2		zre 9255	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
3		ltleap 8587	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A # B ) ) )
5		zapne 9325	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A # B <-> A =/= B ) )
6	5	anbi2d 464	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A <_ B /\ A # B ) <-> ( A <_ B /\ A =/= B ) ) )
7	4, 6	bitrd 188	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ A =/= B ) ) )
8		necom 2431	. . 3 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
9	8	anbi2i 457	. 2 |- ( ( A <_ B /\ A =/= B ) <-> ( A <_ B /\ B =/= A ) )
10	7, 9	bitrdi 196	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( A <_ B /\ B =/= A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4003   RRcr 7809   < clt 7990   <_ cle 7991   # cap 8536   ZZcz 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252

This theorem is referenced by:  nn0lt2  9332  fzdifsuc  10078  fzofzim  10185  oddprmgt2  12128  pcmpt  12335  lgsneg  14318  lgsdilem  14321  lgsdirprm  14328