Theorem egt2lt3 11790

Description: Euler's constant _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	|- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
2		eqid 2177	. . . . 5 |- ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
3	1, 2	ege2le3 11682	. . . 4 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )
4	3	simpli 111	. . 3 |- 2 <_ _e
5		2z 9284	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
6		zq 9629	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
7		eirrap 11788	. . . . 5 |- ( 2 e. QQ -> _e # 2 )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 |- _e # 2
9		ere 11681	. . . . . 6 |- _e e. RR
10	9	recni 7972	. . . . 5 |- _e e. CC
11		2cn 8993	. . . . 5 |- 2 e. CC
12		apsym 8566	. . . . 5 |- ( ( _e e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( _e # 2 <-> 2 # _e ) )
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 |- ( _e # 2 <-> 2 # _e )
14	8, 13	mpbi 145	. . 3 |- 2 # _e
15		2re 8992	. . . 4 |- 2 e. RR
16		ltleap 8592	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ _e e. RR ) -> ( 2 < _e <-> ( 2 <_ _e /\ 2 # _e ) ) )
17	15, 9, 16	mp2an 426	. . 3 |- ( 2 < _e <-> ( 2 <_ _e /\ 2 # _e ) )
18	4, 14, 17	mpbir2an 942	. 2 |- 2 < _e
19	3	simpri 113	. . 3 |- _e <_ 3
20		3z 9285	. . . 4 |- 3 e. ZZ
21		zq 9629	. . . 4 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
22		eirrap 11788	. . . 4 |- ( 3 e. QQ -> _e # 3 )
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 |- _e # 3
24		3re 8996	. . . 4 |- 3 e. RR
25		ltleap 8592	. . . 4 |- ( ( _e e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( _e < 3 <-> ( _e <_ 3 /\ _e # 3 ) ) )
26	9, 24, 25	mp2an 426	. . 3 |- ( _e < 3 <-> ( _e <_ 3 /\ _e # 3 ) )
27	19, 23, 26	mpbir2an 942	. 2 |- _e < 3
28	18, 27	pm3.2i 272	1 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   1c1 7815   x. cmul 7819   < clt 7995   <_ cle 7996   # cap 8541   / cdiv 8632   NNcn 8922   2c2 8973   3c3 8974   NN0cn0 9179   ZZcz 9256   QQcq 9622   ^cexp 10522   !cfa 10708   _eceu 11654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-e 11660

This theorem is referenced by:  epos  11791  ene1  11795  eap1  11796  reeff1o  14334