Theorem egt2lt3 11475

Description: Euler's constant _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	|- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2137	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
2		eqid 2137	. . . . 5 |- ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
3	1, 2	ege2le3 11366	. . . 4 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )
4	3	simpli 110	. . 3 |- 2 <_ _e
5		2z 9075	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
6		zq 9411	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
7		eirrap 11473	. . . . 5 |- ( 2 e. QQ -> _e # 2 )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 |- _e # 2
9		ere 11365	. . . . . 6 |- _e e. RR
10	9	recni 7771	. . . . 5 |- _e e. CC
11		2cn 8784	. . . . 5 |- 2 e. CC
12		apsym 8361	. . . . 5 |- ( ( _e e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( _e # 2 <-> 2 # _e ) )
13	10, 11, 12	mp2an 422	. . . 4 |- ( _e # 2 <-> 2 # _e )
14	8, 13	mpbi 144	. . 3 |- 2 # _e
15		2re 8783	. . . 4 |- 2 e. RR
16		ltleap 8387	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ _e e. RR ) -> ( 2 < _e <-> ( 2 <_ _e /\ 2 # _e ) ) )
17	15, 9, 16	mp2an 422	. . 3 |- ( 2 < _e <-> ( 2 <_ _e /\ 2 # _e ) )
18	4, 14, 17	mpbir2an 926	. 2 |- 2 < _e
19	3	simpri 112	. . 3 |- _e <_ 3
20		3z 9076	. . . 4 |- 3 e. ZZ
21		zq 9411	. . . 4 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
22		eirrap 11473	. . . 4 |- ( 3 e. QQ -> _e # 3 )
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 |- _e # 3
24		3re 8787	. . . 4 |- 3 e. RR
25		ltleap 8387	. . . 4 |- ( ( _e e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( _e < 3 <-> ( _e <_ 3 /\ _e # 3 ) ) )
26	9, 24, 25	mp2an 422	. . 3 |- ( _e < 3 <-> ( _e <_ 3 /\ _e # 3 ) )
27	19, 23, 26	mpbir2an 926	. 2 |- _e < 3
28	18, 27	pm3.2i 270	1 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   |-> cmpt 3984   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   1c1 7614   x. cmul 7618   < clt 7793   <_ cle 7794   # cap 8336   / cdiv 8425   NNcn 8713   2c2 8764   3c3 8765   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   QQcq 9404   ^cexp 10285   !cfa 10464   _eceu 11338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-bc 10487  df-ihash 10515  df-shft 10580  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116  df-ef 11343  df-e 11344

This theorem is referenced by:  epos  11476  ene1  11480  eap1  11481