Theorem egt2lt3 12340

Description: Euler's constant _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	|- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
2		eqid 2231	. . . . 5 |- ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
3	1, 2	ege2le3 12231	. . . 4 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )
4	3	simpli 111	. . 3 |- 2 <_ _e
5		2z 9506	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
6		zq 9859	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
7		eirrap 12338	. . . . 5 |- ( 2 e. QQ -> _e # 2 )
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 |- _e # 2
9		ere 12230	. . . . . 6 |- _e e. RR
10	9	recni 8190	. . . . 5 |- _e e. CC
11		2cn 9213	. . . . 5 |- 2 e. CC
12		apsym 8785	. . . . 5 |- ( ( _e e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( _e # 2 <-> 2 # _e ) )
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 |- ( _e # 2 <-> 2 # _e )
14	8, 13	mpbi 145	. . 3 |- 2 # _e
15		2re 9212	. . . 4 |- 2 e. RR
16		ltleap 8811	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ _e e. RR ) -> ( 2 < _e <-> ( 2 <_ _e /\ 2 # _e ) ) )
17	15, 9, 16	mp2an 426	. . 3 |- ( 2 < _e <-> ( 2 <_ _e /\ 2 # _e ) )
18	4, 14, 17	mpbir2an 950	. 2 |- 2 < _e
19	3	simpri 113	. . 3 |- _e <_ 3
20		3z 9507	. . . 4 |- 3 e. ZZ
21		zq 9859	. . . 4 |- ( 3 e. ZZ -> 3 e. QQ )
22		eirrap 12338	. . . 4 |- ( 3 e. QQ -> _e # 3 )
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 |- _e # 3
24		3re 9216	. . . 4 |- 3 e. RR
25		ltleap 8811	. . . 4 |- ( ( _e e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( _e < 3 <-> ( _e <_ 3 /\ _e # 3 ) ) )
26	9, 24, 25	mp2an 426	. . 3 |- ( _e < 3 <-> ( _e <_ 3 /\ _e # 3 ) )
27	19, 23, 26	mpbir2an 950	. 2 |- _e < 3
28	18, 27	pm3.2i 272	1 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   1c1 8032   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   # cap 8760   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   3c3 9194   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   QQcq 9852   ^cexp 10799   !cfa 10986   _eceu 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-bc 11009  df-ihash 11037  df-shft 11375  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208  df-e 12209

This theorem is referenced by:  epos  12341  ene1  12345  eap1  12346  reeff1o  15496