ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 Unicode version

Theorem egt2lt3 11486
Description: Euler's constant  _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
2 eqid 2139 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
31, 2ege2le3 11377 . . . 4  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
43simpli 110 . . 3  |-  2  <_  _e
5 2z 9082 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
6 zq 9418 . . . . 5  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  QQ )
7 eirrap 11484 . . . . 5  |-  ( 2  e.  QQ  ->  _e #  2 )
85, 6, 7mp2b 8 . . . 4  |-  _e #  2
9 ere 11376 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR
109recni 7778 . . . . 5  |-  _e  e.  CC
11 2cn 8791 . . . . 5  |-  2  e.  CC
12 apsym 8368 . . . . 5  |-  ( ( _e  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( _e #  2  <->  2 #  _e ) )
1310, 11, 12mp2an 422 . . . 4  |-  ( _e #  2  <->  2 #  _e )
148, 13mpbi 144 . . 3  |-  2 #  _e
15 2re 8790 . . . 4  |-  2  e.  RR
16 ltleap 8394 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  _e  e.  RR )  -> 
( 2  <  _e  <->  ( 2  <_  _e  /\  2 #  _e ) ) )
1715, 9, 16mp2an 422 . . 3  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 2  <_  _e  /\  2 #  _e ) )
184, 14, 17mpbir2an 926 . 2  |-  2  <  _e
193simpri 112 . . 3  |-  _e  <_  3
20 3z 9083 . . . 4  |-  3  e.  ZZ
21 zq 9418 . . . 4  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  e.  QQ )
22 eirrap 11484 . . . 4  |-  ( 3  e.  QQ  ->  _e #  3 )
2320, 21, 22mp2b 8 . . 3  |-  _e #  3
24 3re 8794 . . . 4  |-  3  e.  RR
25 ltleap 8394 . . . 4  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( _e  <  3  <->  ( _e  <_  3  /\  _e #  3 ) ) )
269, 24, 25mp2an 422 . . 3  |-  ( _e 
<  3  <->  ( _e  <_  3  /\  _e #  3
) )
2719, 23, 26mpbir2an 926 . 2  |-  _e  <  3
2818, 27pm3.2i 270 1  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   1c1 7621    x. cmul 7625    < clt 7800    <_ cle 7801   # cap 8343    / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   3c3 8772   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   QQcq 9411   ^cexp 10292   !cfa 10471   _eceu 11349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-e 11355
This theorem is referenced by:  epos  11487  ene1  11491  eap1  11492
  Copyright terms: Public domain W3C validator