ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg GIF version

Theorem ltrnqg 7433
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (*Qโ€˜๐ต) <Q (*Qโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 7405 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐ด) โˆˆ Q)
2 recclnq 7405 . . . 4 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q)
3 mulclnq 7389 . . . 4 (((*Qโ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) โˆˆ Q)
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) โˆˆ Q)
5 ltmnqg 7414 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ด) <Q (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ต)))
64, 5mpd3an3 1348 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ด) <Q (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ต)))
7 simpl 109 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
8 mulcomnqg 7396 . . . . . 6 ((((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ด) = (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต))))
94, 7, 8syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ด) = (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต))))
101adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜๐ด) โˆˆ Q)
112adantl 277 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q)
12 mulassnqg 7397 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) = (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1248 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) = (๐ด ยทQ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต))))
14 mulclnq 7389 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ด) โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) โˆˆ Q)
157, 10, 14syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) โˆˆ Q)
16 mulcomnqg 7396 . . . . . 6 (((๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) = ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด))))
1715, 11, 16syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) = ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด))))
189, 13, 173eqtr2d 2226 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ด) = ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด))))
19 recidnq 7406 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด)) = 1Q)
2019oveq2d 5904 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด))) = ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ 1Q))
21 mulidnq 7402 . . . . . 6 ((*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ 1Q) = (*Qโ€˜๐ต))
222, 21syl 14 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ 1Q) = (*Qโ€˜๐ต))
2320, 22sylan9eq 2240 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ (๐ด ยทQ (*Qโ€˜๐ด))) = (*Qโ€˜๐ต))
2418, 23eqtrd 2220 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ด) = (*Qโ€˜๐ต))
25 simpr 110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ Q)
26 mulassnqg 7397 . . . . 5 (((*Qโ€˜๐ด) โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ต) = ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ ๐ต)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1248 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ต) = ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ ๐ต)))
28 mulcomnqg 7396 . . . . . 6 (((*Qโ€˜๐ต) โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ (*Qโ€˜๐ต)))
2911, 25, 28syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ ๐ต) = (๐ต ยทQ (*Qโ€˜๐ต)))
3029oveq2d 5904 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ ((*Qโ€˜๐ต) ยทQ ๐ต)) = ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (๐ต ยทQ (*Qโ€˜๐ต))))
31 recidnq 7406 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (๐ต ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) = 1Q)
3231oveq2d 5904 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (๐ต ยทQ (*Qโ€˜๐ต))) = ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ 1Q))
33 mulidnq 7402 . . . . . 6 ((*Qโ€˜๐ด) โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ 1Q) = (*Qโ€˜๐ด))
341, 33syl 14 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ 1Q) = (*Qโ€˜๐ด))
3532, 34sylan9eqr 2242 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (๐ต ยทQ (*Qโ€˜๐ต))) = (*Qโ€˜๐ด))
3627, 30, 353eqtrd 2224 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ต) = (*Qโ€˜๐ด))
3724, 36breq12d 4028 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ((((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ด) <Q (((*Qโ€˜๐ด) ยทQ (*Qโ€˜๐ต)) ยทQ ๐ต) โ†” (*Qโ€˜๐ต) <Q (*Qโ€˜๐ด)))
386, 37bitrd 188 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (*Qโ€˜๐ต) <Q (*Qโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Qcnq 7293  1Qc1q 7294   ยทQ cmq 7296  *Qcrq 7297   <Q cltq 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-lti 7320  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366
This theorem is referenced by:  ltrnqi  7434  recexprlemloc  7644  archrecnq  7676
  Copyright terms: Public domain W3C validator