ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg GIF version

Theorem ltrnqg 6880
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 6881. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 6852 . . . 4 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 recclnq 6852 . . . 4 (𝐵Q → (*Q𝐵) ∈ Q)
3 mulclnq 6836 . . . 4 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
41, 2, 3syl2an 283 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
5 ltmnqg 6861 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q ∧ ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1270 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
7 simpl 107 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
8 mulcomnqg 6843 . . . . . 6 ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q𝐴Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
94, 7, 8syl2anc 403 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
101adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐴) ∈ Q)
112adantl 271 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐵) ∈ Q)
12 mulassnqg 6844 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1170 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
14 mulclnq 6836 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
157, 10, 14syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
16 mulcomnqg 6843 . . . . . 6 (((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
1715, 11, 16syl2anc 403 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
189, 13, 173eqtr2d 2121 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
19 recidnq 6853 . . . . . 6 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2019oveq2d 5605 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = ((*Q𝐵) ·Q 1Q))
21 mulidnq 6849 . . . . . 6 ((*Q𝐵) ∈ Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
222, 21syl 14 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
2320, 22sylan9eq 2135 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = (*Q𝐵))
2418, 23eqtrd 2115 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (*Q𝐵))
25 simpr 108 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
26 mulassnqg 6844 . . . . 5 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1170 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
28 mulcomnqg 6843 . . . . . 6 (((*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
2911, 25, 28syl2anc 403 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
3029oveq2d 5605 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)) = ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))))
31 recidnq 6853 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (*Q𝐵)) = 1Q)
3231oveq2d 5605 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = ((*Q𝐴) ·Q 1Q))
33 mulidnq 6849 . . . . . 6 ((*Q𝐴) ∈ Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
341, 33syl 14 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
3532, 34sylan9eqr 2137 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = (*Q𝐴))
3627, 30, 353eqtrd 2119 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = (*Q𝐴))
3724, 36breq12d 3824 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
386, 37bitrd 186 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  cfv 4967  (class class class)co 5589  Qcnq 6740  1Qc1q 6741   ·Q cmq 6743  *Qcrq 6744   <Q cltq 6745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4079  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-irdg 6065  df-1o 6111  df-oadd 6115  df-omul 6116  df-er 6220  df-ec 6222  df-qs 6226  df-ni 6764  df-mi 6766  df-lti 6767  df-mpq 6805  df-enq 6807  df-nqqs 6808  df-mqqs 6810  df-1nqqs 6811  df-rq 6812  df-ltnqqs 6813
This theorem is referenced by:  ltrnqi  6881  recexprlemloc  7091  archrecnq  7123
  Copyright terms: Public domain W3C validator