ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg GIF version

Theorem ltrnqg 7242
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7243. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 7214 . . . 4 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 recclnq 7214 . . . 4 (𝐵Q → (*Q𝐵) ∈ Q)
3 mulclnq 7198 . . . 4 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
41, 2, 3syl2an 287 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
5 ltmnqg 7223 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q ∧ ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1316 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
7 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
8 mulcomnqg 7205 . . . . . 6 ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q𝐴Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
94, 7, 8syl2anc 408 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
101adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐴) ∈ Q)
112adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐵) ∈ Q)
12 mulassnqg 7206 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1216 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
14 mulclnq 7198 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
157, 10, 14syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
16 mulcomnqg 7205 . . . . . 6 (((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
1715, 11, 16syl2anc 408 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
189, 13, 173eqtr2d 2178 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
19 recidnq 7215 . . . . . 6 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2019oveq2d 5790 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = ((*Q𝐵) ·Q 1Q))
21 mulidnq 7211 . . . . . 6 ((*Q𝐵) ∈ Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
222, 21syl 14 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
2320, 22sylan9eq 2192 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = (*Q𝐵))
2418, 23eqtrd 2172 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (*Q𝐵))
25 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
26 mulassnqg 7206 . . . . 5 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1216 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
28 mulcomnqg 7205 . . . . . 6 (((*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
2911, 25, 28syl2anc 408 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
3029oveq2d 5790 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)) = ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))))
31 recidnq 7215 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (*Q𝐵)) = 1Q)
3231oveq2d 5790 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = ((*Q𝐴) ·Q 1Q))
33 mulidnq 7211 . . . . . 6 ((*Q𝐴) ∈ Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
341, 33syl 14 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
3532, 34sylan9eqr 2194 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = (*Q𝐴))
3627, 30, 353eqtrd 2176 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = (*Q𝐴))
3724, 36breq12d 3942 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
386, 37bitrd 187 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  Qcnq 7102  1Qc1q 7103   ·Q cmq 7105  *Qcrq 7106   <Q cltq 7107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7126  df-mi 7128  df-lti 7129  df-mpq 7167  df-enq 7169  df-nqqs 7170  df-mqqs 7172  df-1nqqs 7173  df-rq 7174  df-ltnqqs 7175
This theorem is referenced by:  ltrnqi  7243  recexprlemloc  7453  archrecnq  7485
  Copyright terms: Public domain W3C validator