ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg GIF version

Theorem ltrnqg 7369
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7370. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 7341 . . . 4 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 recclnq 7341 . . . 4 (𝐵Q → (*Q𝐵) ∈ Q)
3 mulclnq 7325 . . . 4 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
41, 2, 3syl2an 287 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
5 ltmnqg 7350 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q ∧ ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1333 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
7 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
8 mulcomnqg 7332 . . . . . 6 ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q𝐴Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
94, 7, 8syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
101adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐴) ∈ Q)
112adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐵) ∈ Q)
12 mulassnqg 7333 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1233 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
14 mulclnq 7325 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
157, 10, 14syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
16 mulcomnqg 7332 . . . . . 6 (((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
1715, 11, 16syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
189, 13, 173eqtr2d 2209 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
19 recidnq 7342 . . . . . 6 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2019oveq2d 5866 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = ((*Q𝐵) ·Q 1Q))
21 mulidnq 7338 . . . . . 6 ((*Q𝐵) ∈ Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
222, 21syl 14 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
2320, 22sylan9eq 2223 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = (*Q𝐵))
2418, 23eqtrd 2203 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (*Q𝐵))
25 simpr 109 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
26 mulassnqg 7333 . . . . 5 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1233 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
28 mulcomnqg 7332 . . . . . 6 (((*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
2911, 25, 28syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
3029oveq2d 5866 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)) = ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))))
31 recidnq 7342 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (*Q𝐵)) = 1Q)
3231oveq2d 5866 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = ((*Q𝐴) ·Q 1Q))
33 mulidnq 7338 . . . . . 6 ((*Q𝐴) ∈ Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
341, 33syl 14 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
3532, 34sylan9eqr 2225 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = (*Q𝐴))
3627, 30, 353eqtrd 2207 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = (*Q𝐴))
3724, 36breq12d 4000 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
386, 37bitrd 187 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5850  Qcnq 7229  1Qc1q 7230   ·Q cmq 7232  *Qcrq 7233   <Q cltq 7234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-mi 7255  df-lti 7256  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302
This theorem is referenced by:  ltrnqi  7370  recexprlemloc  7580  archrecnq  7612
  Copyright terms: Public domain W3C validator