ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqg GIF version

Theorem ltrnqg 7480
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7481. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))

Proof of Theorem ltrnqg
StepHypRef Expression
1 recclnq 7452 . . . 4 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
2 recclnq 7452 . . . 4 (𝐵Q → (*Q𝐵) ∈ Q)
3 mulclnq 7436 . . . 4 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
5 ltmnqg 7461 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q ∧ ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1349 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵)))
7 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
8 mulcomnqg 7443 . . . . . 6 ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q𝐴Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
94, 7, 8syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
101adantr 276 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐴) ∈ Q)
112adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (*Q𝐵) ∈ Q)
12 mulassnqg 7444 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
137, 10, 11, 12syl3anc 1249 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = (𝐴 ·Q ((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵))))
14 mulclnq 7436 . . . . . . 7 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐴) ∈ Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
157, 10, 14syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q)
16 mulcomnqg 7443 . . . . . 6 (((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
1715, 11, 16syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐴)) ·Q (*Q𝐵)) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
189, 13, 173eqtr2d 2232 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))))
19 recidnq 7453 . . . . . 6 (𝐴Q → (𝐴 ·Q (*Q𝐴)) = 1Q)
2019oveq2d 5934 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = ((*Q𝐵) ·Q 1Q))
21 mulidnq 7449 . . . . . 6 ((*Q𝐵) ∈ Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
222, 21syl 14 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐵) ·Q 1Q) = (*Q𝐵))
2320, 22sylan9eq 2246 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q (𝐴 ·Q (*Q𝐴))) = (*Q𝐵))
2418, 23eqtrd 2226 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) = (*Q𝐵))
25 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
26 mulassnqg 7444 . . . . 5 (((*Q𝐴) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
2710, 11, 25, 26syl3anc 1249 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)))
28 mulcomnqg 7443 . . . . . 6 (((*Q𝐵) ∈ Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
2911, 25, 28syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q (*Q𝐵)))
3029oveq2d 5934 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q ((*Q𝐵) ·Q 𝐵)) = ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))))
31 recidnq 7453 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (*Q𝐵)) = 1Q)
3231oveq2d 5934 . . . . 5 (𝐵Q → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = ((*Q𝐴) ·Q 1Q))
33 mulidnq 7449 . . . . . 6 ((*Q𝐴) ∈ Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
341, 33syl 14 . . . . 5 (𝐴Q → ((*Q𝐴) ·Q 1Q) = (*Q𝐴))
3532, 34sylan9eqr 2248 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → ((*Q𝐴) ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = (*Q𝐴))
3627, 30, 353eqtrd 2230 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) = (*Q𝐴))
3724, 36breq12d 4042 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ((((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐴) <Q (((*Q𝐴) ·Q (*Q𝐵)) ·Q 𝐵) ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
386, 37bitrd 188 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2164   class class class wbr 4029  cfv 5254  (class class class)co 5918  Qcnq 7340  1Qc1q 7341   ·Q cmq 7343  *Qcrq 7344   <Q cltq 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-lti 7367  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413
This theorem is referenced by:  ltrnqi  7481  recexprlemloc  7691  archrecnq  7723
  Copyright terms: Public domain W3C validator