Theorem nnanq0 7357

Description: Addition of nonnegative fractions with a common denominator. You can add two fractions with the same denominator by adding their numerators and keeping the same denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnanq0	|- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 = ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) )

Proof of Theorem nnanq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addnnnq0 7348	. . 3 |- ( ( ( N e. om /\ A e. N. ) /\ ( M e. om /\ A e. N. ) ) -> ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
2	1	3impdir 1273	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
3		pinn 7208	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> A e. om )
4		nnmcom 6425	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ A e. om ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
5	3, 4	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ A e. N. ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
6	5	3adant2 1001	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
7	6	oveq1d 5829	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
8		nndi 6422	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ N e. om /\ M e. om ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
9	8	3coml 1189	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. om ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
10	3, 9	syl3an3 1252	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2190	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) = ( A .o ( N +o M ) ) )
12	11	opeq1d 3743	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. = <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. )
13	12	eceq1d 6505	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
14		simp3 984	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> A e. N. )
15		nnacl 6416	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ M e. om ) -> ( N +o M ) e. om )
16	15	3adant3 1002	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( N +o M ) e. om )
17		mulcanenq0ec 7344	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( N +o M ) e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 )
18	14, 16, 14, 17	syl3anc 1217	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 )
19	2, 13, 18	3eqtrrd 2192	1 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 = ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 2125   <.cop 3559   omcom 4543  (class class class)co 5814   +o coa 6350   .o comu 6351   [cec 6467   N.cnpi 7171   ~_Q0 ceq0 7185   +_Q0 cplq0 7188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-oadd 6357  df-omul 6358  df-er 6469  df-ec 6471  df-qs 6475  df-ni 7203  df-mi 7205  df-enq0 7323  df-nq0 7324  df-plq0 7326

This theorem is referenced by:  nq02m  7364  prarloclemcalc  7401