Theorem nnanq0 7259

Description: Addition of nonnegative fractions with a common denominator. You can add two fractions with the same denominator by adding their numerators and keeping the same denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnanq0	|- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 = ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) )

Proof of Theorem nnanq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addnnnq0 7250	. . 3 |- ( ( ( N e. om /\ A e. N. ) /\ ( M e. om /\ A e. N. ) ) -> ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
2	1	3impdir 1272	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
3		pinn 7110	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> A e. om )
4		nnmcom 6378	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ A e. om ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
5	3, 4	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ A e. N. ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
6	5	3adant2 1000	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
7	6	oveq1d 5782	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
8		nndi 6375	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ N e. om /\ M e. om ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
9	8	3coml 1188	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. om ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
10	3, 9	syl3an3 1251	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2173	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) = ( A .o ( N +o M ) ) )
12	11	opeq1d 3706	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. = <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. )
13	12	eceq1d 6458	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
14		simp3 983	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> A e. N. )
15		nnacl 6369	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ M e. om ) -> ( N +o M ) e. om )
16	15	3adant3 1001	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( N +o M ) e. om )
17		mulcanenq0ec 7246	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( N +o M ) e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 )
18	14, 16, 14, 17	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 )
19	2, 13, 18	3eqtrrd 2175	1 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 = ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3525   omcom 4499  (class class class)co 5767   +o coa 6303   .o comu 6304   [cec 6420   N.cnpi 7073   ~_Q0 ceq0 7087   +_Q0 cplq0 7090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-plq0 7228

This theorem is referenced by:  nq02m  7266  prarloclemcalc  7303