Theorem nnanq0 7831

Description: Addition of nonnegative fractions with a common denominator. You can add two fractions with the same denominator by adding their numerators and keeping the same denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nnanq0	|- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 = ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) )

Proof of Theorem nnanq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addnnnq0 7822	. . 3 |- ( ( ( N e. om /\ A e. N. ) /\ ( M e. om /\ A e. N. ) ) -> ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
2	1	3impdir 1335	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
3		pinn 7682	. . . . . . . 8 |- ( A e. N. -> A e. om )
4		nnmcom 6766	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ A e. om ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
5	3, 4	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ A e. N. ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
6	5	3adant2 1047	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( N .o A ) = ( A .o N ) )
7	6	oveq1d 6103	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
8		nndi 6763	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ N e. om /\ M e. om ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
9	8	3coml 1241	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. om ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
10	3, 9	syl3an3 1313	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( A .o ( N +o M ) ) = ( ( A .o N ) +o ( A .o M ) ) )
11	7, 10	eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) = ( A .o ( N +o M ) ) )
12	11	opeq1d 3910	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. = <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. )
13	12	eceq1d 6847	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( N .o A ) +o ( A .o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 )
14		simp3 1030	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> A e. N. )
15		nnacl 6757	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ M e. om ) -> ( N +o M ) e. om )
16	15	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> ( N +o M ) e. om )
17		mulcanenq0ec 7818	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ ( N +o M ) e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 )
18	14, 16, 14, 17	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( A .o ( N +o M ) ) , ( A .o A ) >. ] ~Q0 = [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 )
19	2, 13, 18	3eqtrrd 2276	1 |- ( ( N e. om /\ M e. om /\ A e. N. ) -> [ <. ( N +o M ) , A >. ] ~Q0 = ( [ <. N , A >. ] ~Q0 +Q0 [ <. M , A >. ] ~Q0 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   omcom 4739  (class class class)co 6088   +o coa 6688   .o comu 6689   [cec 6809   N.cnpi 7645   ~_Q0 ceq0 7659   +_Q0 cplq0 7662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-mi 7679  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-plq0 7800

This theorem is used by:  nq02m  7838  prarloclemcalc  7875