ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnanq0 Unicode version

Theorem nnanq0 7454
Description: Addition of nonnegative fractions with a common denominator. You can add two fractions with the same denominator by adding their numerators and keeping the same denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnanq0  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  =  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )
)

Proof of Theorem nnanq0
StepHypRef Expression
1 addnnnq0 7445 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  A  e.  N. )  /\  ( M  e.  om  /\  A  e.  N. )
)  ->  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  )
213impdir 1294 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  )
3 pinn 7305 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
4 nnmcom 6487 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( N  .o  A
)  =  ( A  .o  N ) )
53, 4sylan2 286 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( N  .o  A
)  =  ( A  .o  N ) )
653adant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( N  .o  A )  =  ( A  .o  N
) )
76oveq1d 5887 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M
) ) )
8 nndi 6484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  N  e.  om  /\  M  e.  om )  ->  ( A  .o  ( N  +o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M ) ) )
983coml 1210 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  ( N  +o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M ) ) )
103, 9syl3an3 1273 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( N  +o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M ) ) )
117, 10eqtr4d 2213 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) )  =  ( A  .o  ( N  +o  M
) ) )
1211opeq1d 3784 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  <. (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >.  =  <. ( A  .o  ( N  +o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. )
1312eceq1d 6568 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  ( N  +o  M ) ) ,  ( A  .o  A
) >. ] ~Q0  )
14 simp3 999 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  A  e.  N. )
15 nnacl 6478 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om )  ->  ( N  +o  M
)  e.  om )
16153adant3 1017 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( N  +o  M )  e. 
om )
17 mulcanenq0ec 7441 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( N  +o  M
)  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  ( N  +o  M
) ) ,  ( A  .o  A )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  )
1814, 16, 14, 17syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  ( N  +o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  )
192, 13, 183eqtrrd 2215 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  =  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3595   omcom 4588  (class class class)co 5872    +o coa 6411    .o comu 6412   [cec 6530   N.cnpi 7268   ~Q0 ceq0 7282   +Q0 cplq0 7285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-mi 7302  df-enq0 7420  df-nq0 7421  df-plq0 7423
This theorem is referenced by:  nq02m  7461  prarloclemcalc  7498
  Copyright terms: Public domain W3C validator