Theorem mulgassr 13414

Description: Reversed product of group multiples. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	|- B = ( Base ` G )
mulgass.t	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgassr	|- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( N x. M ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgassr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9359	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2	1	3ad2ant2 1021	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> N e. CC )
3		zcn 9359	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
4	3	3ad2ant1 1020	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> M e. CC )
5	2, 4	mulcomd 8076	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( N x. M ) = ( M x. N ) )
7	6	oveq1d 5949	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( N x. M ) .x. X ) = ( ( M x. N ) .x. X ) )
8		mulgass.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
9		mulgass.t	. . 3 |- .x. = (.g ` G )
10	8, 9	mulgass 13413	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( M x. N ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )
11	7, 10	eqtrd 2237	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) ) -> ( ( N x. M ) .x. X ) = ( M .x. ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   CCcc 7905   x. cmul 7912   ZZcz 9354   Basecbs 12751   Grpcgrp 13250  ._gcmg 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-2 9077  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-mulg 13374

This theorem is referenced by:  mulgmodid  13415