ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulginvinv GIF version

Theorem mulginvinv 12897
Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulginvcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t · = (.g𝐺)
mulginvcom.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulginvinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulginvinv
StepHypRef Expression
1 mulginvcom.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulginvcom.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 12811 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
433adant2 1016 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
5 mulginvcom.t . . . 4 · = (.g𝐺)
61, 5, 2mulginvcom 12896 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))))
74, 6syld3an3 1283 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))))
81, 2grpinvinv 12826 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
983adant2 1016 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
109oveq2d 5885 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))
117, 10eqtr3d 2212 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  (class class class)co 5869  cz 9242  Basecbs 12445  Grpcgrp 12767  invgcminusg 12768  .gcmg 12872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-ndx 12448  df-slot 12449  df-base 12451  df-plusg 12531  df-0g 12655  df-mgm 12667  df-sgrp 12700  df-mnd 12710  df-grp 12770  df-minusg 12771  df-mulg 12873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator