ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Unicode version

Theorem m1expcl2 10436
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 8933 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 prid1g 3663 . . 3  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  -u
1  e.  { -u
1 ,  1 } )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  -u 1  e.  { -u 1 ,  1 }
4 neg1ap0 8937 . 2  |-  -u 1 #  0
5 ax-1cn 7820 . . . 4  |-  1  e.  CC
6 prssi 3714 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  { -u 1 ,  1 }  C_  CC )
71, 5, 6mp2an 423 . . 3  |-  { -u
1 ,  1 } 
C_  CC
8 elpri 3583 . . . . 5  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
) )
97sseli 3124 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  y  e.  CC )
109mulm1d 8280 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
-u 1  x.  y
)  =  -u y
)
11 elpri 3583 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( y  =  -u 1  \/  y  =  1
) )
12 negeq 8063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u 1  ->  -u y  =  -u -u 1 )
13 negneg1e1 8938 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
14 1ex 7868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  _V
1514prid2 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  { -u 1 ,  1 }
1613, 15eqeltri 2230 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 1  e.  { -u 1 ,  1 }
1712, 16eqeltrdi 2248 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -u 1  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
18 negeq 8063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  -u y  =  -u 1 )
1918, 3eqeltrdi 2248 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2017, 19jaoi 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  -u 1  \/  y  =  1
)  ->  -u y  e. 
{ -u 1 ,  1 } )
2111, 20syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2210, 21eqeltrd 2234 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
-u 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } )
23 oveq1 5828 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
x  x.  y )  =  ( -u 1  x.  y ) )
2423eleq1d 2226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 }  <-> 
( -u 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } ) )
2522, 24syl5ibr 155 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
269mulid2d 7891 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
27 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2826, 27eqeltrd 2234 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } )
29 oveq1 5828 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
3029eleq1d 2226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 }  <-> 
( 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } ) )
3128, 30syl5ibr 155 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
3225, 31jaoi 706 . . . . 5  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
338, 32syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
3433imp 123 . . 3  |-  ( ( x  e.  { -u
1 ,  1 }  /\  y  e.  { -u 1 ,  1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } )
35 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
36 1ap0 8460 . . . . . . . . . 10  |-  1 #  0
37 divneg2ap 8604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1 #  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
385, 5, 36, 37mp3an 1319 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
39 1div1e1 8572 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
4039negeqi 8064 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
4138, 40eqtr3i 2180 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
4241, 3eqeltri 2230 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  -u 1 )  e. 
{ -u 1 ,  1 }
4335, 42eqeltrdi 2248 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
44 oveq2 5829 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
1 ) )
4539, 15eqeltri 2230 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  e. 
{ -u 1 ,  1 }
4644, 45eqeltrdi 2248 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
4743, 46jaoi 706 . . . . 5  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( 1  /  x )  e. 
{ -u 1 ,  1 } )
488, 47syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
4948adantr 274 . . 3  |-  ( ( x  e.  { -u
1 ,  1 }  /\  x #  0 )  ->  ( 1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
507, 34, 15, 49expcl2lemap 10426 . 2  |-  ( (
-u 1  e.  { -u 1 ,  1 }  /\  -u 1 #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )
513, 4, 50mp3an12 1309 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128    C_ wss 3102   {cpr 3561   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   CCcc 7725   0cc0 7727   1c1 7728    x. cmul 7732   -ucneg 8042   # cap 8451    / cdiv 8540   ZZcz 9162   ^cexp 10413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-seqfrec 10340  df-exp 10414
This theorem is referenced by:  m1expcl  10437  m1expeven  10461
  Copyright terms: Public domain W3C validator