ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Unicode version

Theorem m1expcl2 10498
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 8983 . . 3  |-  -u 1  e.  CC
2 prid1g 3687 . . 3  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  -u
1  e.  { -u
1 ,  1 } )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  -u 1  e.  { -u 1 ,  1 }
4 neg1ap0 8987 . 2  |-  -u 1 #  0
5 ax-1cn 7867 . . . 4  |-  1  e.  CC
6 prssi 3738 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  { -u 1 ,  1 }  C_  CC )
71, 5, 6mp2an 424 . . 3  |-  { -u
1 ,  1 } 
C_  CC
8 elpri 3606 . . . . 5  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
) )
97sseli 3143 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  y  e.  CC )
109mulm1d 8329 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
-u 1  x.  y
)  =  -u y
)
11 elpri 3606 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( y  =  -u 1  \/  y  =  1
) )
12 negeq 8112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u 1  ->  -u y  =  -u -u 1 )
13 negneg1e1 8988 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u -u 1  =  1
14 1ex 7915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  _V
1514prid2 3690 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  { -u 1 ,  1 }
1613, 15eqeltri 2243 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 1  e.  { -u 1 ,  1 }
1712, 16eqeltrdi 2261 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  -u 1  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
18 negeq 8112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  1  ->  -u y  =  -u 1 )
1918, 3eqeltrdi 2261 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2017, 19jaoi 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  -u 1  \/  y  =  1
)  ->  -u y  e. 
{ -u 1 ,  1 } )
2111, 20syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  -u y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2210, 21eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
-u 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } )
23 oveq1 5860 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
x  x.  y )  =  ( -u 1  x.  y ) )
2423eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 }  <-> 
( -u 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } ) )
2522, 24syl5ibr 155 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
269mulid2d 7938 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
27 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  y  e.  { -u 1 ,  1 } )
2826, 27eqeltrd 2247 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } )
29 oveq1 5860 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
3029eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 }  <-> 
( 1  x.  y
)  e.  { -u
1 ,  1 } ) )
3128, 30syl5ibr 155 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
3225, 31jaoi 711 . . . . 5  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( y  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  (
x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
338, 32syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( y  e.  { -u
1 ,  1 }  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } ) )
3433imp 123 . . 3  |-  ( ( x  e.  { -u
1 ,  1 }  /\  y  e.  { -u 1 ,  1 } )  ->  ( x  x.  y )  e.  { -u 1 ,  1 } )
35 oveq2 5861 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
36 1ap0 8509 . . . . . . . . . 10  |-  1 #  0
37 divneg2ap 8653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1 #  0 )  ->  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 ) )
385, 5, 36, 37mp3an 1332 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  /  1 )  =  ( 1  /  -u 1 )
39 1div1e1 8621 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
4039negeqi 8113 . . . . . . . . 9  |-  -u (
1  /  1 )  =  -u 1
4138, 40eqtr3i 2193 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  -u 1 )  = 
-u 1
4241, 3eqeltri 2243 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  -u 1 )  e. 
{ -u 1 ,  1 }
4335, 42eqeltrdi 2261 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
44 oveq2 5861 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
1 ) )
4539, 15eqeltri 2243 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  e. 
{ -u 1 ,  1 }
4644, 45eqeltrdi 2261 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
4743, 46jaoi 711 . . . . 5  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( 1  /  x )  e. 
{ -u 1 ,  1 } )
488, 47syl 14 . . . 4  |-  ( x  e.  { -u 1 ,  1 }  ->  ( 1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
4948adantr 274 . . 3  |-  ( ( x  e.  { -u
1 ,  1 }  /\  x #  0 )  ->  ( 1  /  x )  e.  { -u 1 ,  1 } )
507, 34, 15, 49expcl2lemap 10488 . 2  |-  ( (
-u 1  e.  { -u 1 ,  1 }  /\  -u 1 #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )
513, 4, 50mp3an12 1322 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  { -u 1 ,  1 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141    C_ wss 3121   {cpr 3584   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779   -ucneg 8091   # cap 8500    / cdiv 8589   ZZcz 9212   ^cexp 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476
This theorem is referenced by:  m1expcl  10499  m1expeven  10523
  Copyright terms: Public domain W3C validator