Theorem m1expcl2 10308

Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	|- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 8818	. . 3 |- -u 1 e. CC
2		prid1g 3622	. . 3 |- ( -u 1 e. CC -> -u 1 e. { -u 1 , 1 } )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- -u 1 e. { -u 1 , 1 }
4		neg1ap0 8822	. 2 |- -u 1 # 0
5		ax-1cn 7706	. . . 4 |- 1 e. CC
6		prssi 3673	. . . 4 |- ( ( -u 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> { -u 1 , 1 } C_ CC )
7	1, 5, 6	mp2an 422	. . 3 |- { -u 1 , 1 } C_ CC
8		elpri 3545	. . . . 5 |- ( x e. { -u 1 , 1 } -> ( x = -u 1 \/ x = 1 ) )
9	7	sseli 3088	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> y e. CC )
10	9	mulm1d 8165	. . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( -u 1 x. y ) = -u y )
11		elpri 3545	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( y = -u 1 \/ y = 1 ) )
12		negeq 7948	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = -u 1 -> -u y = -u -u 1 )
13		negneg1e1 8823	. . . . . . . . . . . 12 |- -u -u 1 = 1
14		1ex 7754	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. _V
15	14	prid2 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. { -u 1 , 1 }
16	13, 15	eqeltri 2210	. . . . . . . . . . 11 |- -u -u 1 e. { -u 1 , 1 }
17	12, 16	eqeltrdi 2228	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u 1 -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
18		negeq 7948	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 1 -> -u y = -u 1 )
19	18, 3	eqeltrdi 2228	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 1 -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
20	17, 19	jaoi 705	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = -u 1 \/ y = 1 ) -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
21	11, 20	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> -u y e. { -u 1 , 1 } )
22	10, 21	eqeltrd 2214	. . . . . . 7 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( -u 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } )
23		oveq1 5774	. . . . . . . 8 |- ( x = -u 1 -> ( x x. y ) = ( -u 1 x. y ) )
24	23	eleq1d 2206	. . . . . . 7 |- ( x = -u 1 -> ( ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( -u 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
25	22, 24	syl5ibr 155	. . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
26	9	mulid2d 7777	. . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 x. y ) = y )
27		id 19	. . . . . . . 8 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> y e. { -u 1 , 1 } )
28	26, 27	eqeltrd 2214	. . . . . . 7 |- ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } )
29		oveq1 5774	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( x x. y ) = ( 1 x. y ) )
30	29	eleq1d 2206	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } <-> ( 1 x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
31	28, 30	syl5ibr 155	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
32	25, 31	jaoi 705	. . . . 5 |- ( ( x = -u 1 \/ x = 1 ) -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
33	8, 32	syl 14	. . . 4 |- ( x e. { -u 1 , 1 } -> ( y e. { -u 1 , 1 } -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } ) )
34	33	imp 123	. . 3 |- ( ( x e. { -u 1 , 1 } /\ y e. { -u 1 , 1 } ) -> ( x x. y ) e. { -u 1 , 1 } )
35		oveq2 5775	. . . . . . 7 |- ( x = -u 1 -> ( 1 / x ) = ( 1 / -u 1 ) )
36		1ap0 8345	. . . . . . . . . 10 |- 1 # 0
37		divneg2ap 8489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 # 0 ) -> -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 ) )
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1315	. . . . . . . . 9 |- -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 )
39		1div1e1 8457	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 1 ) = 1
40	39	negeqi 7949	. . . . . . . . 9 |- -u ( 1 / 1 ) = -u 1
41	38, 40	eqtr3i 2160	. . . . . . . 8 |- ( 1 / -u 1 ) = -u 1
42	41, 3	eqeltri 2210	. . . . . . 7 |- ( 1 / -u 1 ) e. { -u 1 , 1 }
43	35, 42	eqeltrdi 2228	. . . . . 6 |- ( x = -u 1 -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
44		oveq2 5775	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( 1 / x ) = ( 1 / 1 ) )
45	39, 15	eqeltri 2210	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) e. { -u 1 , 1 }
46	44, 45	eqeltrdi 2228	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
47	43, 46	jaoi 705	. . . . 5 |- ( ( x = -u 1 \/ x = 1 ) -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
48	8, 47	syl 14	. . . 4 |- ( x e. { -u 1 , 1 } -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
49	48	adantr 274	. . 3 |- ( ( x e. { -u 1 , 1 } /\ x # 0 ) -> ( 1 / x ) e. { -u 1 , 1 } )
50	7, 34, 15, 49	expcl2lemap 10298	. 2 |- ( ( -u 1 e. { -u 1 , 1 } /\ -u 1 # 0 /\ N e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )
51	3, 4, 50	mp3an12 1305	1 |- ( N e. ZZ -> ( -u 1 ^ N ) e. { -u 1 , 1 } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3066   {cpr 3523   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   1c1 7614   x. cmul 7618   -ucneg 7927   # cap 8336   / cdiv 8425   ZZcz 9047   ^cexp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212  df-exp 10286

This theorem is referenced by:  m1expcl  10309  m1expeven  10333