Theorem dvmptnegcn 15513

Description: Function-builder for derivative, product rule for negatives. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcmulcn.a	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
dvmptcmulcn.b	|- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
dvmptcmulcn.da	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )

Assertion

Ref	Expression
dvmptnegcn	|- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> -u A ) ) = ( x e. CC |-> -u B ) )

Distinct variable groups:   x, V   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem dvmptnegcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptcmulcn.a	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> A e. CC )
2		dvmptcmulcn.b	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. V )
3		dvmptcmulcn.da	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> A ) ) = ( x e. CC |-> B ) )
4		neg1cn 9291	. . . 4 |- -u 1 e. CC
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
6	1, 2, 3, 5	dvmptcmulcn 15512	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( -u 1 x. A ) ) ) = ( x e. CC |-> ( -u 1 x. B ) ) )
7	1	mulm1d 8632	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
8	7	mpteq2dva 4184	. . 3 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( -u 1 x. A ) ) = ( x e. CC |-> -u A ) )
9	8	oveq2d 6044	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( -u 1 x. A ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> -u A ) ) )
10		cnelprrecn 8211	. . . . . 6 |- CC e. { RR , CC }
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
12		ssidd 3249	. . . . 5 |- ( ph -> CC C_ CC )
13	11, 1, 2, 3, 12	dvmptclx 15509	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> B e. CC )
14	13	mulm1d 8632	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
15	14	mpteq2dva 4184	. 2 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( -u 1 x. B ) ) = ( x e. CC |-> -u B ) )
16	6, 9, 15	3eqtr3d 2272	1 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> -u A ) ) = ( x e. CC |-> -u B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cpr 3674   |-> cmpt 4155  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   1c1 8076   x. cmul 8080   -ucneg 8394   _D cdv 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-pm 6863  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-tx 15044  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448

This theorem is referenced by:  dvmptsubcn  15514