Theorem evennn02n 11785

Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn02n	|- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem evennn02n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2220	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
2		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
3		2re 8908	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 2 e. RR )
5		zre 9176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	5	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> n e. RR )
7		2pos 8929	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 0 < 2 )
9		nn0ge0 9120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> 0 <_ ( 2 x. n ) )
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ ( 2 x. n ) )
11		prodge0 8730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ n e. RR ) /\ ( 0 < 2 /\ 0 <_ ( 2 x. n ) ) ) -> 0 <_ n )
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ n )
13		elnn0z 9185	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 <-> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
14	2, 12, 13	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> n e. NN0 )
15	14	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
16	1, 15	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( N e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN0 ) ) )
18	17	impcom 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN0 ) )
19	18	pm4.71rd 392	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N <-> ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
20	19	bicomd 140	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> ( 2 x. n ) = N ) )
21	20	rexbidva 2454	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
22		nn0ssz 9190	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
23		rexss 3195	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
24	22, 23	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
25		even2n 11777	. . 3 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
26	25	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
27	21, 24, 26	3bitr4rd 220	1 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   C_ wss 3102   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   RRcr 7733   0cc0 7734   x. cmul 7739   < clt 7914   <_ cle 7915   2c2 8889   NN0cn0 9095   ZZcz 9172   || cdvds 11694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-2 8897  df-n0 9096  df-z 9173  df-dvds 11695

This theorem is referenced by: (None)