Theorem evennn02n 11427

Description: A nonnegative integer is even iff it is twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn02n	|- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem evennn02n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2177	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
2		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
3		2re 8700	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 2 e. RR )
5		zre 8962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	5	adantl 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> n e. RR )
7		2pos 8721	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 0 < 2 )
9		nn0ge0 8906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> 0 <_ ( 2 x. n ) )
10	9	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ ( 2 x. n ) )
11		prodge0 8522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ n e. RR ) /\ ( 0 < 2 /\ 0 <_ ( 2 x. n ) ) ) -> 0 <_ n )
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ n )
13		elnn0z 8971	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 <-> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
14	2, 12, 13	sylanbrc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> n e. NN0 )
15	14	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
16	1, 15	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( N e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN0 ) ) )
18	17	impcom 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN0 ) )
19	18	pm4.71rd 389	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N <-> ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
20	19	bicomd 140	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> ( 2 x. n ) = N ) )
21	20	rexbidva 2408	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
22		nn0ssz 8976	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
23		rexss 3130	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
24	22, 23	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
25		even2n 11419	. . 3 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
26	25	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
27	21, 24, 26	3bitr4rd 220	1 |- ( N e. NN0 -> ( 2 || N <-> E. n e. NN0 ( 2 x. n ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   E.wrex 2391   C_ wss 3037   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   RRcr 7546   0cc0 7547   x. cmul 7552   < clt 7724   <_ cle 7725   2c2 8681   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   || cdvds 11341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-dvds 11342

This theorem is referenced by: (None)