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Theorem eulerthlemth 12827

Description: Lemma for eulerth 12828. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12825	. . . . 5
5	1	simp1d 1035	. . . . . 6
6	1	simp2d 1036	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12813	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9460	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10822	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9511	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9606	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10699	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3311	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3258	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10466	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9502	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3235	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3235	. . . . . . . . 9
20		f1of 5586	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5785	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3224	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12193	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9613	. . . . . 6
26		fveq2 5642	. . . . . . . . 9
27		eqid 2230	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12826	. . . . . . . . 9
29		eqid 2230	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6039	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6038	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4186	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12822	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6039	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6038	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4186	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5477	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5720	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2230	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5642	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6039	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6038	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9613	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10615	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5743	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5646	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2263	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5785	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3224	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9608	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12172	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12585	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9606	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12568	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9606	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12568	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1037	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2269	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6030	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2964	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5924	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12150	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2264	. . . . . . 7
89		fveq2 5642	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12143	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2317	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2307	. . . . . 6
93		moddvds 12383	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1273	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9608	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8203	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2289	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6039	. . . . 5
100	10	zcnd 9608	. . . . . 6
101		ax-1cn 8130	. . . . . . 7
102		subdir 8570	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1361	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9612	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9608	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8206	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2269	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4115	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12824	. . 3
111		coprmdvds 12687	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1273	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9510	. . . 4
115		moddvds 12383	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1362	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2201

crab 2513 class class class wbr 4089

cmpt 4151

ccnv 4726

ccom 4731

wf 5324

wf1o 5327

cfv 5328 (class class class)co 6023

cc 8035

cc0 8037

c1 8038

cmul 8042

cmin 8355

cn 9148

cn0 9407

cz 9484

cfz 10248 ..^cfzo 10382

cmo 10590

cexp 10806

cprod 12134

cdvds 12371

cgcd 12547

cphi 12804

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2203 ax-14 2204 ax-ext 2212 ax-coll 4205 ax-sep 4208 ax-nul 4216 ax-pow 4266 ax-pr 4301 ax-un 4532 ax-setind 4637 ax-iinf 4688 ax-cnex 8128 ax-resscn 8129 ax-1cn 8130 ax-1re 8131 ax-icn 8132 ax-addcl 8133 ax-addrcl 8134 ax-mulcl 8135 ax-mulrcl 8136 ax-addcom 8137 ax-mulcom 8138 ax-addass 8139 ax-mulass 8140 ax-distr 8141 ax-i2m1 8142 ax-0lt1 8143 ax-1rid 8144 ax-0id 8145 ax-rnegex 8146 ax-precex 8147 ax-cnre 8148 ax-pre-ltirr 8149 ax-pre-ltwlin 8150 ax-pre-lttrn 8151 ax-pre-apti 8152 ax-pre-ltadd 8153 ax-pre-mulgt0 8154 ax-pre-mulext 8155 ax-arch 8156 ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1810 df-eu 2081 df-mo 2082 df-clab 2217 df-cleq 2223 df-clel 2226 df-nfc 2362 df-ne 2402 df-nel 2497 df-ral 2514 df-rex 2515 df-reu 2516 df-rmo 2517 df-rab 2518 df-v 2803 df-sbc 3031 df-csb 3127 df-dif 3201 df-un 3203 df-in 3205 df-ss 3212 df-nul 3494 df-if 3605 df-pw 3655 df-sn 3676 df-pr 3677 df-op 3679 df-uni 3895 df-int 3930 df-iun 3973 df-br 4090 df-opab 4152 df-mpt 4153 df-tr 4189 df-id 4392 df-po 4395 df-iso 4396 df-iord 4465 df-on 4467 df-ilim 4468 df-suc 4470 df-iom 4691 df-xp 4733 df-rel 4734 df-cnv 4735 df-co 4736 df-dm 4737 df-rn 4738 df-res 4739 df-ima 4740 df-iota 5288 df-fun 5330 df-fn 5331 df-f 5332 df-f1 5333 df-fo 5334 df-f1o 5335 df-fv 5336 df-isom 5337 df-riota 5976 df-ov 6026 df-oprab 6027 df-mpo 6028 df-1st 6308 df-2nd 6309 df-recs 6476 df-irdg 6541 df-frec 6562 df-1o 6587 df-oadd 6591 df-er 6707 df-en 6915 df-dom 6916 df-fin 6917 df-sup 7188 df-pnf 8221 df-mnf 8222 df-xr 8223 df-ltxr 8224 df-le 8225 df-sub 8357 df-neg 8358 df-reap 8760 df-ap 8767 df-div 8858 df-inn 9149 df-2 9207 df-3 9208 df-4 9209 df-n0 9408 df-z 9485 df-uz 9761 df-q 9859 df-rp 9894 df-fz 10249 df-fzo 10383 df-fl 10536 df-mod 10591 df-seqfrec 10716 df-exp 10807 df-ihash 11044 df-cj 11425 df-re 11426 df-im 11427 df-rsqrt 11581 df-abs 11582 df-clim 11862 df-proddc 12135 df-dvds 12372 df-gcd 12548 df-phi 12806

This theorem is referenced by: eulerth 12828

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