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Theorem eulerthlemth 12373

Description: Lemma for eulerth 12374. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12371	. . . . 5
5	1	simp1d 1011	. . . . . 6
6	1	simp2d 1012	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12359	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9296	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10628	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9347	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9441	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10505	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3265	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3212	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10285	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9338	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3189	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3189	. . . . . . . . 9
20		f1of 5501	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5694	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3178	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11755	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9448	. . . . . 6
26		fveq2 5555	. . . . . . . . 9
27		eqid 2193	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12372	. . . . . . . . 9
29		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5555	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4126	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12368	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5555	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4126	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5397	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5629	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5555	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9448	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10421	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5652	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5559	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5694	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3178	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9443	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11734	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12131	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9441	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12114	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12239	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2232	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2920	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5822	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11712	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2227	. . . . . . 7
89		fveq2 5555	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11705	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2280	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2270	. . . . . 6
93		moddvds 11945	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1249	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9443	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8040	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2252	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5935	. . . . 5
100	10	zcnd 9443	. . . . . 6
101		ax-1cn 7967	. . . . . . 7
102		subdir 8407	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1336	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9447	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9443	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8043	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2232	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4056	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12370	. . 3
111		coprmdvds 12233	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1249	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9346	. . . 4
115		moddvds 11945	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1337	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

crab 2476 class class class wbr 4030

cmpt 4091

ccnv 4659

ccom 4664

wf 5251

wf1o 5254

cfv 5255 (class class class)co 5919

cc 7872

cc0 7874

c1 7875

cmul 7879

cmin 8192

cn 8984

cn0 9243

cz 9320

cfz 10077 ..^cfzo 10211

cmo 10396

cexp 10612

cprod 11696

cdvds 11933

cgcd 12082

cphi 12350

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-irdg 6425 df-frec 6446 df-1o 6471 df-oadd 6475 df-er 6589 df-en 6797 df-dom 6798 df-fin 6799 df-sup 7045 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-fz 10078 df-fzo 10212 df-fl 10342 df-mod 10397 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-ihash 10850 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-clim 11425 df-proddc 11697 df-dvds 11934 df-gcd 12083 df-phi 12352

This theorem is referenced by: eulerth 12374

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