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Theorem eulerthlemth 12957

Description: Lemma for eulerth 12958. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12955	. . . . 5
5	1	simp1d 1036	. . . . . 6
6	1	simp2d 1037	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12943	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9573	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10943	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9624	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9720	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10820	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3327	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3274	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10585	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9615	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3251	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3251	. . . . . . . . 9
20		f1of 5619	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3240	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12323	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9727	. . . . . 6
26		fveq2 5675	. . . . . . . . 9
27		eqid 2234	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12956	. . . . . . . . 9
29		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4211	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12952	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4211	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5506	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5753	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9727	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10736	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3240	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9722	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12302	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12715	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9720	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9720	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12698	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1038	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12698	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12823	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2979	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12280	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2268	. . . . . . 7
89		fveq2 5675	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12273	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2321	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2311	. . . . . 6
93		moddvds 12513	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1274	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9722	. . . . . . . 8
97	96	mullidd 8308	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2293	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6074	. . . . 5
100	10	zcnd 9722	. . . . . 6
101		ax-1cn 8236	. . . . . . 7
102		subdir 8677	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1362	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9726	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9722	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8311	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2273	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4140	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12954	. . 3
111		coprmdvds 12817	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1274	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9623	. . . 4
115		moddvds 12513	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1363	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

crab 2526 class class class wbr 4114

cmpt 4176

ccnv 4753

ccom 4758

wf 5353

wf1o 5356

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cc0 8143

c1 8144

cmul 8148

cmin 8461

cn 9257

cn0 9516

cz 9597

cfz 10364 ..^cfzo 10501

cmo 10711

cexp 10927

cprod 12264

cdvds 12501

cgcd 12677

cphi 12934

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-irdg 6614 df-frec 6635 df-1o 6660 df-oadd 6664 df-er 6780 df-en 6989 df-dom 6990 df-fin 6991 df-sup 7288 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8463 df-neg 8464 df-reap 8867 df-ap 8874 df-div 8967 df-inn 9258 df-2 9316 df-3 9317 df-4 9318 df-n0 9517 df-z 9598 df-uz 9875 df-q 9973 df-rp 10008 df-fz 10365 df-fzo 10502 df-fl 10657 df-mod 10712 df-seqfrec 10837 df-exp 10928 df-ihash 11167 df-cj 11555 df-re 11556 df-im 11557 df-rsqrt 11711 df-abs 11712 df-clim 11992 df-proddc 12265 df-dvds 12502 df-gcd 12678 df-phi 12936

This theorem is referenced by: eulerth 12958

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