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Theorem eulerthlemth 12937

Description: Lemma for eulerth 12938. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12935	. . . . 5
5	1	simp1d 1036	. . . . . 6
6	1	simp2d 1037	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12923	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9558	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10923	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9609	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9705	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10800	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3325	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3272	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10567	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9600	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3249	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3249	. . . . . . . . 9
20		f1of 5616	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5814	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3238	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12303	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9712	. . . . . 6
26		fveq2 5672	. . . . . . . . 9
27		eqid 2234	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12936	. . . . . . . . 9
29		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4208	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12932	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4208	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5503	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5750	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6068	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6067	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9712	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10716	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5773	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5676	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5814	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3238	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9707	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12282	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12678	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9705	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12678	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1038	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2269	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6059	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2978	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5953	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12260	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2268	. . . . . . 7
89		fveq2 5672	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12253	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2321	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2311	. . . . . 6
93		moddvds 12493	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1274	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9707	. . . . . . . 8
97	96	mullidd 8297	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2293	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6068	. . . . 5
100	10	zcnd 9707	. . . . . 6
101		ax-1cn 8225	. . . . . . 7
102		subdir 8664	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1362	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9711	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9707	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8300	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2273	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4137	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12934	. . 3
111		coprmdvds 12797	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1274	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9608	. . . 4
115		moddvds 12493	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1363	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

crab 2526 class class class wbr 4111

cmpt 4173

ccnv 4750

ccom 4755

wf 5350

wf1o 5353

cfv 5354 (class class class)co 6052

cc 8130

cc0 8132

c1 8133

cmul 8137

cmin 8449

cn 9242

cn0 9501

cz 9582

cfz 10348 ..^cfzo 10483

cmo 10691

cexp 10907

cprod 12244

cdvds 12481

cgcd 12657

cphi 12914

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4227 ax-sep 4230 ax-nul 4238 ax-pow 4289 ax-pr 4324 ax-un 4556 ax-setind 4661 ax-iinf 4712 ax-cnex 8223 ax-resscn 8224 ax-1cn 8225 ax-1re 8226 ax-icn 8227 ax-addcl 8228 ax-addrcl 8229 ax-mulcl 8230 ax-mulrcl 8231 ax-addcom 8232 ax-mulcom 8233 ax-addass 8234 ax-mulass 8235 ax-distr 8236 ax-i2m1 8237 ax-0lt1 8238 ax-1rid 8239 ax-0id 8240 ax-rnegex 8241 ax-precex 8242 ax-cnre 8243 ax-pre-ltirr 8244 ax-pre-ltwlin 8245 ax-pre-lttrn 8246 ax-pre-apti 8247 ax-pre-ltadd 8248 ax-pre-mulgt0 8249 ax-pre-mulext 8250 ax-arch 8251 ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3045 df-csb 3141 df-dif 3215 df-un 3217 df-in 3219 df-ss 3226 df-nul 3511 df-if 3623 df-pw 3673 df-sn 3697 df-pr 3698 df-op 3700 df-uni 3917 df-int 3952 df-iun 3995 df-br 4112 df-opab 4174 df-mpt 4175 df-tr 4211 df-id 4416 df-po 4419 df-iso 4420 df-iord 4489 df-on 4491 df-ilim 4492 df-suc 4494 df-iom 4715 df-xp 4757 df-rel 4758 df-cnv 4759 df-co 4760 df-dm 4761 df-rn 4762 df-res 4763 df-ima 4764 df-iota 5314 df-fun 5356 df-fn 5357 df-f 5358 df-f1 5359 df-fo 5360 df-f1o 5361 df-fv 5362 df-isom 5363 df-riota 6005 df-ov 6055 df-oprab 6056 df-mpo 6057 df-1st 6336 df-2nd 6337 df-recs 6538 df-irdg 6603 df-frec 6624 df-1o 6649 df-oadd 6653 df-er 6769 df-en 6978 df-dom 6979 df-fin 6980 df-sup 7277 df-pnf 8315 df-mnf 8316 df-xr 8317 df-ltxr 8318 df-le 8319 df-sub 8451 df-neg 8452 df-reap 8854 df-ap 8861 df-div 8952 df-inn 9243 df-2 9301 df-3 9302 df-4 9303 df-n0 9502 df-z 9583 df-uz 9860 df-q 9958 df-rp 9993 df-fz 10349 df-fzo 10484 df-fl 10637 df-mod 10692 df-seqfrec 10817 df-exp 10908 df-ihash 11147 df-cj 11535 df-re 11536 df-im 11537 df-rsqrt 11691 df-abs 11692 df-clim 11972 df-proddc 12245 df-dvds 12482 df-gcd 12658 df-phi 12916

This theorem is referenced by: eulerth 12938

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