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Theorem eulerthlemth 12425

Description: Lemma for eulerth 12426. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12423	. . . . 5
5	1	simp1d 1011	. . . . . 6
6	1	simp2d 1012	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12411	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9319	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10663	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9370	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9464	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10540	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3269	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3216	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10308	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9361	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3193	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3193	. . . . . . . . 9
20		f1of 5507	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3182	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11791	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9471	. . . . . 6
26		fveq2 5561	. . . . . . . . 9
27		eqid 2196	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12424	. . . . . . . . 9
29		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4130	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12420	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4130	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5403	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5635	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10456	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5658	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5565	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3182	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9466	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11770	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12183	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12166	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12166	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12166	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12291	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2923	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5828	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11748	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2230	. . . . . . 7
89		fveq2 5561	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11741	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2283	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2273	. . . . . 6
93		moddvds 11981	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1249	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9466	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8062	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2255	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5941	. . . . 5
100	10	zcnd 9466	. . . . . 6
101		ax-1cn 7989	. . . . . . 7
102		subdir 8429	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1336	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9470	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9466	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8065	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2235	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4060	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12422	. . 3
111		coprmdvds 12285	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1249	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9369	. . . 4
115		moddvds 11981	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1337	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

crab 2479 class class class wbr 4034

cmpt 4095

ccnv 4663

ccom 4668

wf 5255

wf1o 5258

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7894

cc0 7896

c1 7897

cmul 7901

cmin 8214

cn 9007

cn0 9266

cz 9343

cfz 10100 ..^cfzo 10234

cmo 10431

cexp 10647

cprod 11732

cdvds 11969

cgcd 12145

cphi 12402

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-irdg 6437 df-frec 6458 df-1o 6483 df-oadd 6487 df-er 6601 df-en 6809 df-dom 6810 df-fin 6811 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-ihash 10885 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-clim 11461 df-proddc 11733 df-dvds 11970 df-gcd 12146 df-phi 12404

This theorem is referenced by: eulerth 12426

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