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Theorem eulerthlemth 12797

Description: Lemma for eulerth 12798. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12795	. . . . 5
5	1	simp1d 1033	. . . . . 6
6	1	simp2d 1034	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12783	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9448	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10809	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9499	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9594	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10686	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3310	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3257	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10453	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9490	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3234	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3234	. . . . . . . . 9
20		f1of 5580	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5778	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3223	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12163	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9601	. . . . . 6
26		fveq2 5635	. . . . . . . . 9
27		eqid 2229	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12796	. . . . . . . . 9
29		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4183	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12792	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4183	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5472	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5713	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10602	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5639	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5778	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3223	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9596	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12142	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12555	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12538	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9594	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12538	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1035	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12538	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2963	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5914	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12120	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2263	. . . . . . 7
89		fveq2 5635	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12113	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2316	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2306	. . . . . 6
93		moddvds 12353	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1271	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9596	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8191	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2288	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6029	. . . . 5
100	10	zcnd 9596	. . . . . 6
101		ax-1cn 8118	. . . . . . 7
102		subdir 8558	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1359	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9600	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9596	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8194	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2268	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4112	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12794	. . 3
111		coprmdvds 12657	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1271	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9498	. . . 4
115		moddvds 12353	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1360	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512 class class class wbr 4086

cmpt 4148

ccnv 4722

ccom 4727

wf 5320

wf1o 5323

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8023

cc0 8025

c1 8026

cmul 8030

cmin 8343

cn 9136

cn0 9395

cz 9472

cfz 10236 ..^cfzo 10370

cmo 10577

cexp 10793

cprod 12104

cdvds 12341

cgcd 12517

cphi 12774

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144 ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-oadd 6581 df-er 6697 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-sup 7177 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-3 9196 df-4 9197 df-n0 9396 df-z 9473 df-uz 9749 df-q 9847 df-rp 9882 df-fz 10237 df-fzo 10371 df-fl 10523 df-mod 10578 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-ihash 11031 df-cj 11396 df-re 11397 df-im 11398 df-rsqrt 11552 df-abs 11553 df-clim 11833 df-proddc 12105 df-dvds 12342 df-gcd 12518 df-phi 12776

This theorem is referenced by: eulerth 12798

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