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Theorem eulerthlemth 12215

Description: Lemma for eulerth 12216. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12213	. . . . 5
5	1	simp1d 1009	. . . . . 6
6	1	simp2d 1010	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12201	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9218	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10521	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9269	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9363	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10417	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3187	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10201	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9260	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3164	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3164	. . . . . . . . 9
20		f1of 5457	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3153	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11601	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9370	. . . . . 6
26		fveq2 5511	. . . . . . . . 9
27		eqid 2177	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12214	. . . . . . . . 9
29		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12210	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4096	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5354	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5583	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10333	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5515	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3153	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9365	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11580	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 11975	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 11958	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9363	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 11958	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 11958	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12081	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2896	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5773	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11558	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2211	. . . . . . 7
89		fveq2 5511	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11551	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2264	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2254	. . . . . 6
93		moddvds 11790	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1238	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9365	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 7966	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2236	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5885	. . . . 5
100	10	zcnd 9365	. . . . . 6
101		ax-1cn 7895	. . . . . . 7
102		subdir 8333	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1325	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9369	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9365	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 7969	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2216	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4026	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12212	. . 3
111		coprmdvds 12075	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1238	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9268	. . . 4
115		moddvds 11790	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1326	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

crab 2459 class class class wbr 4000

cmpt 4061

ccnv 4622

ccom 4627

wf 5208

wf1o 5211

cfv 5212 (class class class)co 5869

cc 7800

cc0 7802

c1 7803

cmul 7807

cmin 8118

cn 8908

cn0 9165

cz 9242

cfz 9995 ..^cfzo 10128

cmo 10308

cexp 10505

cprod 11542

cdvds 11778

cgcd 11926

cphi 12192

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-isom 5221 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-frec 6386 df-1o 6411 df-oadd 6415 df-er 6529 df-en 6735 df-dom 6736 df-fin 6737 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-ihash 10740 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-clim 11271 df-proddc 11543 df-dvds 11779 df-gcd 11927 df-phi 12194

This theorem is referenced by: eulerth 12216

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