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Theorem eulerthlemth 12775

Description: Lemma for eulerth 12776. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12773	. . . . 5
5	1	simp1d 1033	. . . . . 6
6	1	simp2d 1034	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12761	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9438	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10793	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9489	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9584	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10670	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3309	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3256	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10438	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9480	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3233	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3233	. . . . . . . . 9
20		f1of 5577	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3222	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12141	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9591	. . . . . 6
26		fveq2 5632	. . . . . . . . 9
27		eqid 2229	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12774	. . . . . . . . 9
29		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4180	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12770	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4180	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5469	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5710	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5632	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9591	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10586	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5733	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5636	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5775	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3222	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9586	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12120	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12516	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12516	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1035	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12516	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12641	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6017	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2962	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5911	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12098	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2263	. . . . . . 7
89		fveq2 5632	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12091	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2316	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2306	. . . . . 6
93		moddvds 12331	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1271	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9586	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8181	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2288	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6026	. . . . 5
100	10	zcnd 9586	. . . . . 6
101		ax-1cn 8108	. . . . . . 7
102		subdir 8548	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1359	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9590	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9586	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8184	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2268	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4109	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12772	. . 3
111		coprmdvds 12635	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1271	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9488	. . . 4
115		moddvds 12331	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1360	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

crab 2512 class class class wbr 4083

cmpt 4145

ccnv 4719

ccom 4724

wf 5317

wf1o 5320

cfv 5321 (class class class)co 6010

cc 8013

cc0 8015

c1 8016

cmul 8020

cmin 8333

cn 9126

cn0 9385

cz 9462

cfz 10221 ..^cfzo 10355

cmo 10561

cexp 10777

cprod 12082

cdvds 12319

cgcd 12495

cphi 12752

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4259 ax-pr 4294 ax-un 4525 ax-setind 4630 ax-iinf 4681 ax-cnex 8106 ax-resscn 8107 ax-1cn 8108 ax-1re 8109 ax-icn 8110 ax-addcl 8111 ax-addrcl 8112 ax-mulcl 8113 ax-mulrcl 8114 ax-addcom 8115 ax-mulcom 8116 ax-addass 8117 ax-mulass 8118 ax-distr 8119 ax-i2m1 8120 ax-0lt1 8121 ax-1rid 8122 ax-0id 8123 ax-rnegex 8124 ax-precex 8125 ax-cnre 8126 ax-pre-ltirr 8127 ax-pre-ltwlin 8128 ax-pre-lttrn 8129 ax-pre-apti 8130 ax-pre-ltadd 8131 ax-pre-mulgt0 8132 ax-pre-mulext 8133 ax-arch 8134 ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4385 df-po 4388 df-iso 4389 df-iord 4458 df-on 4460 df-ilim 4461 df-suc 4463 df-iom 4684 df-xp 4726 df-rel 4727 df-cnv 4728 df-co 4729 df-dm 4730 df-rn 4731 df-res 4732 df-ima 4733 df-iota 5281 df-fun 5323 df-fn 5324 df-f 5325 df-f1 5326 df-fo 5327 df-f1o 5328 df-fv 5329 df-isom 5330 df-riota 5963 df-ov 6013 df-oprab 6014 df-mpo 6015 df-1st 6295 df-2nd 6296 df-recs 6462 df-irdg 6527 df-frec 6548 df-1o 6573 df-oadd 6577 df-er 6693 df-en 6901 df-dom 6902 df-fin 6903 df-sup 7167 df-pnf 8199 df-mnf 8200 df-xr 8201 df-ltxr 8202 df-le 8203 df-sub 8335 df-neg 8336 df-reap 8738 df-ap 8745 df-div 8836 df-inn 9127 df-2 9185 df-3 9186 df-4 9187 df-n0 9386 df-z 9463 df-uz 9739 df-q 9832 df-rp 9867 df-fz 10222 df-fzo 10356 df-fl 10507 df-mod 10562 df-seqfrec 10687 df-exp 10778 df-ihash 11015 df-cj 11374 df-re 11375 df-im 11376 df-rsqrt 11530 df-abs 11531 df-clim 11811 df-proddc 12083 df-dvds 12320 df-gcd 12496 df-phi 12754

This theorem is referenced by: eulerth 12776

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