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Theorem eulerthlemth 12400

Description: Lemma for eulerth 12401. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12398	. . . . 5
5	1	simp1d 1011	. . . . . 6
6	1	simp2d 1012	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12386	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9302	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10646	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9353	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9447	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10523	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3268	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3215	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10291	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9344	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3192	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3192	. . . . . . . . 9
20		f1of 5504	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3181	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11774	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9454	. . . . . 6
26		fveq2 5558	. . . . . . . . 9
27		eqid 2196	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12399	. . . . . . . . 9
29		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4129	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12395	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4129	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5400	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5632	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9454	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10439	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5655	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5562	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3181	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9449	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11753	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12158	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12141	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12141	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12141	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2923	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5825	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11731	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2230	. . . . . . 7
89		fveq2 5558	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11724	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2283	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2273	. . . . . 6
93		moddvds 11964	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1249	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9449	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8045	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2255	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5938	. . . . 5
100	10	zcnd 9449	. . . . . 6
101		ax-1cn 7972	. . . . . . 7
102		subdir 8412	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1336	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9453	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9449	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8048	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2235	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4059	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12397	. . 3
111		coprmdvds 12260	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1249	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9352	. . . 4
115		moddvds 11964	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1337	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

crab 2479 class class class wbr 4033

cmpt 4094

ccnv 4662

ccom 4667

wf 5254

wf1o 5257

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cc0 7879

c1 7880

cmul 7884

cmin 8197

cn 8990

cn0 9249

cz 9326

cfz 10083 ..^cfzo 10217

cmo 10414

cexp 10630

cprod 11715

cdvds 11952

cgcd 12120

cphi 12377

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-irdg 6428 df-frec 6449 df-1o 6474 df-oadd 6478 df-er 6592 df-en 6800 df-dom 6801 df-fin 6802 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-ihash 10868 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-clim 11444 df-proddc 11716 df-dvds 11953 df-gcd 12121 df-phi 12379

This theorem is referenced by: eulerth 12401

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