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Theorem eulerthlemth 12186

Description: Lemma for eulerth 12187. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12184	. . . . 5
5	1	simp1d 1004	. . . . . 6
6	1	simp2d 1005	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12172	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9188	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10491	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . . 7
11		1zzd 9239	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9333	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10387	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3232	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3179	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10171	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9230	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3156	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3156	. . . . . . . . 9
20		f1of 5442	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3145	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11572	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9340	. . . . . 6
26		fveq2 5496	. . . . . . . . 9
27		eqid 2170	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12185	. . . . . . . . 9
29		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12181	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4085	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5340	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 121	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5567	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2170	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10303	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3145	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9335	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11551	. . . . . . . 8
60	3	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 11946	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 11929	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 11929	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1006	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 11929	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12052	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 431	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2889	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 415	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5757	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11529	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2204	. . . . . . 7
89		fveq2 5496	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11522	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2257	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2247	. . . . . 6
93		moddvds 11761	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1233	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 146	. . . 4
96	24	zcnd 9335	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 7938	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2229	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5869	. . . . 5
100	10	zcnd 9335	. . . . . 6
101		ax-1cn 7867	. . . . . . 7
102		subdir 8305	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1320	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 409	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9339	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9335	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 7941	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2209	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4015	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12183	. . 3
111		coprmdvds 12046	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1233	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 431	. 2
114		1z 9238	. . . 4
115		moddvds 11761	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1321	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 409	. 2
118	113, 117	mpbird 166	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

crab 2452 class class class wbr 3989

cmpt 4050

ccnv 4610

ccom 4615

wf 5194

wf1o 5197

cfv 5198 (class class class)co 5853

cc 7772

cc0 7774

c1 7775

cmul 7779

cmin 8090

cn 8878

cn0 9135

cz 9212

cfz 9965 ..^cfzo 10098

cmo 10278

cexp 10475

cprod 11513

cdvds 11749

cgcd 11897

cphi 12163

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-isom 5207 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-irdg 6349 df-frec 6370 df-1o 6395 df-oadd 6399 df-er 6513 df-en 6719 df-dom 6720 df-fin 6721 df-sup 6961 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-ihash 10710 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-clim 11242 df-proddc 11514 df-dvds 11750 df-gcd 11898 df-phi 12165

This theorem is referenced by: eulerth 12187

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