eulerthlemth - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > eulerthlemth		Unicode version

Theorem eulerthlemth 12806

Description: Lemma for eulerth 12807. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12804	. . . . 5
5	1	simp1d 1035	. . . . . 6
6	1	simp2d 1036	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12792	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9455	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10817	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9506	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9601	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10694	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3312	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3259	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10461	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9497	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3236	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3236	. . . . . . . . 9
20		f1of 5583	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3225	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12172	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9608	. . . . . 6
26		fveq2 5639	. . . . . . . . 9
27		eqid 2231	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12805	. . . . . . . . 9
29		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4185	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12801	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4185	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5475	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5717	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6033	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10610	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3225	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9603	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12151	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12564	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12547	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12547	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1037	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12547	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2270	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2965	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5919	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12129	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2265	. . . . . . 7
89		fveq2 5639	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12122	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2318	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2308	. . . . . 6
93		moddvds 12362	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1273	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9603	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8198	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2290	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6034	. . . . 5
100	10	zcnd 9603	. . . . . 6
101		ax-1cn 8125	. . . . . . 7
102		subdir 8565	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1361	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9607	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9603	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8201	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2270	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4114	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12803	. . 3
111		coprmdvds 12666	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1273	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9505	. . . 4
115		moddvds 12362	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1362	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

crab 2514 class class class wbr 4088

cmpt 4150

ccnv 4724

ccom 4729

wf 5322

wf1o 5325

cfv 5326 (class class class)co 6018

cc 8030

cc0 8032

c1 8033

cmul 8037

cmin 8350

cn 9143

cn0 9402

cz 9479

cfz 10243 ..^cfzo 10377

cmo 10585

cexp 10801

cprod 12113

cdvds 12350

cgcd 12526

cphi 12783

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-isom 5335 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-frec 6557 df-1o 6582 df-oadd 6586 df-er 6702 df-en 6910 df-dom 6911 df-fin 6912 df-sup 7183 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-ihash 11039 df-cj 11404 df-re 11405 df-im 11406 df-rsqrt 11560 df-abs 11561 df-clim 11841 df-proddc 12114 df-dvds 12351 df-gcd 12527 df-phi 12785

This theorem is referenced by: eulerth 12807

W3C validator