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Theorem eulerthlemth 12922

Description: Lemma for eulerth 12923. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12920	. . . . 5
5	1	simp1d 1036	. . . . . 6
6	1	simp2d 1037	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12908	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9549	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10912	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9600	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9695	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10789	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3322	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3269	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10556	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9591	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3246	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3246	. . . . . . . . 9
20		f1of 5613	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5811	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3235	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12288	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9702	. . . . . 6
26		fveq2 5669	. . . . . . . . 9
27		eqid 2232	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12921	. . . . . . . . 9
29		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5669	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4205	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12917	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5669	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6065	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4205	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5500	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5747	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5669	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6065	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9702	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5770	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5673	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5811	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3235	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9697	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12267	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12680	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12663	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9695	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12663	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1038	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12788	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2271	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6056	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2975	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5950	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12245	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2266	. . . . . . 7
89		fveq2 5669	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12238	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2319	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2309	. . . . . 6
93		moddvds 12478	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1274	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9697	. . . . . . . 8
97	96	mullidd 8288	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2291	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6065	. . . . 5
100	10	zcnd 9697	. . . . . 6
101		ax-1cn 8216	. . . . . . 7
102		subdir 8655	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1362	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9701	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9697	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8291	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2271	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4134	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12919	. . 3
111		coprmdvds 12782	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1274	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9599	. . . 4
115		moddvds 12478	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1363	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2203

crab 2524 class class class wbr 4108

cmpt 4170

ccnv 4747

ccom 4752

wf 5347

wf1o 5350

cfv 5351 (class class class)co 6049

cc 8121

cc0 8123

c1 8124

cmul 8128

cmin 8440

cn 9233

cn0 9492

cz 9573

cfz 10338 ..^cfzo 10472

cmo 10680

cexp 10896

cprod 12229

cdvds 12466

cgcd 12642

cphi 12899

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2205 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-coll 4224 ax-sep 4227 ax-nul 4235 ax-pow 4286 ax-pr 4321 ax-un 4553 ax-setind 4658 ax-iinf 4709 ax-cnex 8214 ax-resscn 8215 ax-1cn 8216 ax-1re 8217 ax-icn 8218 ax-addcl 8219 ax-addrcl 8220 ax-mulcl 8221 ax-mulrcl 8222 ax-addcom 8223 ax-mulcom 8224 ax-addass 8225 ax-mulass 8226 ax-distr 8227 ax-i2m1 8228 ax-0lt1 8229 ax-1rid 8230 ax-0id 8231 ax-rnegex 8232 ax-precex 8233 ax-cnre 8234 ax-pre-ltirr 8235 ax-pre-ltwlin 8236 ax-pre-lttrn 8237 ax-pre-apti 8238 ax-pre-ltadd 8239 ax-pre-mulgt0 8240 ax-pre-mulext 8241 ax-arch 8242 ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ne 2413 df-nel 2508 df-ral 2525 df-rex 2526 df-reu 2527 df-rmo 2528 df-rab 2529 df-v 2814 df-sbc 3042 df-csb 3138 df-dif 3212 df-un 3214 df-in 3216 df-ss 3223 df-nul 3508 df-if 3620 df-pw 3670 df-sn 3694 df-pr 3695 df-op 3697 df-uni 3914 df-int 3949 df-iun 3992 df-br 4109 df-opab 4171 df-mpt 4172 df-tr 4208 df-id 4413 df-po 4416 df-iso 4417 df-iord 4486 df-on 4488 df-ilim 4489 df-suc 4491 df-iom 4712 df-xp 4754 df-rel 4755 df-cnv 4756 df-co 4757 df-dm 4758 df-rn 4759 df-res 4760 df-ima 4761 df-iota 5311 df-fun 5353 df-fn 5354 df-f 5355 df-f1 5356 df-fo 5357 df-f1o 5358 df-fv 5359 df-isom 5360 df-riota 6002 df-ov 6052 df-oprab 6053 df-mpo 6054 df-1st 6333 df-2nd 6334 df-recs 6535 df-irdg 6600 df-frec 6621 df-1o 6646 df-oadd 6650 df-er 6766 df-en 6975 df-dom 6976 df-fin 6977 df-sup 7274 df-pnf 8306 df-mnf 8307 df-xr 8308 df-ltxr 8309 df-le 8310 df-sub 8442 df-neg 8443 df-reap 8845 df-ap 8852 df-div 8943 df-inn 9234 df-2 9292 df-3 9293 df-4 9294 df-n0 9493 df-z 9574 df-uz 9850 df-q 9948 df-rp 9983 df-fz 10339 df-fzo 10473 df-fl 10626 df-mod 10681 df-seqfrec 10806 df-exp 10897 df-ihash 11134 df-cj 11520 df-re 11521 df-im 11522 df-rsqrt 11676 df-abs 11677 df-clim 11957 df-proddc 12230 df-dvds 12467 df-gcd 12643 df-phi 12901

This theorem is referenced by: eulerth 12923

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