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Theorem eulerthlemth 12993

Description: Lemma for eulerth 12994. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12991	. . . . 5
5	1	simp1d 1040	. . . . . 6
6	1	simp2d 1041	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12979	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9603	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10974	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . 7
11		1zzd 9654	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9750	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10851	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3280	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10616	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9645	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3257	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3257	. . . . . . . . 9
20		f1of 5637	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3246	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 12359	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9757	. . . . . 6
26		fveq2 5693	. . . . . . . . 9
27		eqid 2238	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12992	. . . . . . . . 9
29		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4225	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12988	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4225	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5524	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5773	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5693	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10767	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5796	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5697	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5837	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3246	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9752	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 12338	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12734	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12734	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12734	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12859	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 437	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2985	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5978	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 12316	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2272	. . . . . . 7
89		fveq2 5693	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 12309	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2325	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2315	. . . . . 6
93		moddvds 12549	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1278	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9752	. . . . . . . 8
97	96	mullidd 8338	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2297	. . . . . 6
99	98	oveq2d 6095	. . . . 5
100	10	zcnd 9752	. . . . . 6
101		ax-1cn 8266	. . . . . . 7
102		subdir 8707	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1366	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 415	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9756	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9752	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8341	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2277	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4154	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12990	. . 3
111		coprmdvds 12853	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1278	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 437	. 2
114		1z 9653	. . . 4
115		moddvds 12549	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1367	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 415	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

crab 2532 class class class wbr 4128

cmpt 4190

ccnv 4771

ccom 4776

wf 5371

wf1o 5374

cfv 5375 (class class class)co 6079

cc 8171

cc0 8173

c1 8174

cmul 8178

cmin 8491

cn 9287

cn0 9546

cz 9627

cfz 10394 ..^cfzo 10532

cmo 10742

cexp 10958

cprod 12300

cdvds 12537

cgcd 12713

cphi 12970

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-isom 5384 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-irdg 6635 df-frec 6656 df-1o 6681 df-oadd 6685 df-er 6801 df-en 7017 df-dom 7018 df-fin 7019 df-sup 7318 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-fz 10395 df-fzo 10533 df-fl 10688 df-mod 10743 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-ihash 11198 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-clim 12028 df-proddc 12301 df-dvds 12538 df-gcd 12714 df-phi 12972

This theorem is referenced by: eulerth 12994

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