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Theorem eulerthlemth 12629

Description: Lemma for eulerth 12630. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12627	. . . . 5
5	1	simp1d 1012	. . . . . 6
6	1	simp2d 1013	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12615	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9368	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10721	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9419	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9514	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10598	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3282	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3229	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10366	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9410	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3206	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3206	. . . . . . . . 9
20		f1of 5534	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5728	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3195	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11995	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9521	. . . . . 6
26		fveq2 5589	. . . . . . . . 9
27		eqid 2206	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12628	. . . . . . . . 9
29		eqid 2206	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5589	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5973	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5972	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4148	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12624	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5589	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5973	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5972	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4148	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5428	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5663	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2206	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5589	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5973	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5972	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9521	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10514	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5686	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5593	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2239	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5728	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3195	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9516	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11974	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12387	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9514	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12370	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9514	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1014	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2241	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2241	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12495	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2245	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5964	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2936	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5860	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11952	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2240	. . . . . . 7
89		fveq2 5589	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11945	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2293	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2283	. . . . . 6
93		moddvds 12185	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1250	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9516	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8111	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2265	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5973	. . . . 5
100	10	zcnd 9516	. . . . . 6
101		ax-1cn 8038	. . . . . . 7
102		subdir 8478	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1338	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9520	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9516	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8114	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2245	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4077	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12626	. . 3
111		coprmdvds 12489	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1250	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9418	. . . 4
115		moddvds 12185	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1339	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2177

crab 2489 class class class wbr 4051

cmpt 4113

ccnv 4682

ccom 4687

wf 5276

wf1o 5279

cfv 5280 (class class class)co 5957

cc 7943

cc0 7945

c1 7946

cmul 7950

cmin 8263

cn 9056

cn0 9315

cz 9392

cfz 10150 ..^cfzo 10284

cmo 10489

cexp 10705

cprod 11936

cdvds 12173

cgcd 12349

cphi 12606

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2179 ax-14 2180 ax-ext 2188 ax-coll 4167 ax-sep 4170 ax-nul 4178 ax-pow 4226 ax-pr 4261 ax-un 4488 ax-setind 4593 ax-iinf 4644 ax-cnex 8036 ax-resscn 8037 ax-1cn 8038 ax-1re 8039 ax-icn 8040 ax-addcl 8041 ax-addrcl 8042 ax-mulcl 8043 ax-mulrcl 8044 ax-addcom 8045 ax-mulcom 8046 ax-addass 8047 ax-mulass 8048 ax-distr 8049 ax-i2m1 8050 ax-0lt1 8051 ax-1rid 8052 ax-0id 8053 ax-rnegex 8054 ax-precex 8055 ax-cnre 8056 ax-pre-ltirr 8057 ax-pre-ltwlin 8058 ax-pre-lttrn 8059 ax-pre-apti 8060 ax-pre-ltadd 8061 ax-pre-mulgt0 8062 ax-pre-mulext 8063 ax-arch 8064 ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2193 df-cleq 2199 df-clel 2202 df-nfc 2338 df-ne 2378 df-nel 2473 df-ral 2490 df-rex 2491 df-reu 2492 df-rmo 2493 df-rab 2494 df-v 2775 df-sbc 3003 df-csb 3098 df-dif 3172 df-un 3174 df-in 3176 df-ss 3183 df-nul 3465 df-if 3576 df-pw 3623 df-sn 3644 df-pr 3645 df-op 3647 df-uni 3857 df-int 3892 df-iun 3935 df-br 4052 df-opab 4114 df-mpt 4115 df-tr 4151 df-id 4348 df-po 4351 df-iso 4352 df-iord 4421 df-on 4423 df-ilim 4424 df-suc 4426 df-iom 4647 df-xp 4689 df-rel 4690 df-cnv 4691 df-co 4692 df-dm 4693 df-rn 4694 df-res 4695 df-ima 4696 df-iota 5241 df-fun 5282 df-fn 5283 df-f 5284 df-f1 5285 df-fo 5286 df-f1o 5287 df-fv 5288 df-isom 5289 df-riota 5912 df-ov 5960 df-oprab 5961 df-mpo 5962 df-1st 6239 df-2nd 6240 df-recs 6404 df-irdg 6469 df-frec 6490 df-1o 6515 df-oadd 6519 df-er 6633 df-en 6841 df-dom 6842 df-fin 6843 df-sup 7101 df-pnf 8129 df-mnf 8130 df-xr 8131 df-ltxr 8132 df-le 8133 df-sub 8265 df-neg 8266 df-reap 8668 df-ap 8675 df-div 8766 df-inn 9057 df-2 9115 df-3 9116 df-4 9117 df-n0 9316 df-z 9393 df-uz 9669 df-q 9761 df-rp 9796 df-fz 10151 df-fzo 10285 df-fl 10435 df-mod 10490 df-seqfrec 10615 df-exp 10706 df-ihash 10943 df-cj 11228 df-re 11229 df-im 11230 df-rsqrt 11384 df-abs 11385 df-clim 11665 df-proddc 11937 df-dvds 12174 df-gcd 12350 df-phi 12608

This theorem is referenced by: eulerth 12630

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