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Theorem eulerthlemth 12226

Description: Lemma for eulerth 12227. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12224	. . . . 5
5	1	simp1d 1009	. . . . . 6
6	1	simp2d 1010	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12212	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9227	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10532	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9278	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9372	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10428	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3187	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10212	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9269	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3164	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3164	. . . . . . . . 9
20		f1of 5461	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5651	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3153	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11612	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9379	. . . . . 6
26		fveq2 5515	. . . . . . . . 9
27		eqid 2177	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12225	. . . . . . . . 9
29		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4099	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12221	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4099	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5358	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5587	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9379	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10344	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5609	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5519	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5651	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3153	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9374	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11591	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 11986	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9372	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 11969	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9372	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 11969	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 11969	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12092	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5881	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2896	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5778	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11569	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2211	. . . . . . 7
89		fveq2 5515	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11562	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2264	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2254	. . . . . 6
93		moddvds 11801	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1238	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9374	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 7974	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2236	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5890	. . . . 5
100	10	zcnd 9374	. . . . . 6
101		ax-1cn 7903	. . . . . . 7
102		subdir 8341	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1325	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9378	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9374	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 7977	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2216	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4029	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12223	. . 3
111		coprmdvds 12086	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1238	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9277	. . . 4
115		moddvds 11801	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1326	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

crab 2459 class class class wbr 4003

cmpt 4064

ccnv 4625

ccom 4630

wf 5212

wf1o 5215

cfv 5216 (class class class)co 5874

cc 7808

cc0 7810

c1 7811

cmul 7815

cmin 8126

cn 8917

cn0 9174

cz 9251

cfz 10006 ..^cfzo 10139

cmo 10319

cexp 10516

cprod 11553

cdvds 11789

cgcd 11937

cphi 12203

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-isom 5225 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-irdg 6370 df-frec 6391 df-1o 6416 df-oadd 6420 df-er 6534 df-en 6740 df-dom 6741 df-fin 6742 df-sup 6982 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-reap 8530 df-ap 8537 df-div 8628 df-inn 8918 df-2 8976 df-3 8977 df-4 8978 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-q 9618 df-rp 9652 df-fz 10007 df-fzo 10140 df-fl 10267 df-mod 10320 df-seqfrec 10443 df-exp 10517 df-ihash 10751 df-cj 10846 df-re 10847 df-im 10848 df-rsqrt 11002 df-abs 11003 df-clim 11282 df-proddc 11554 df-dvds 11790 df-gcd 11938 df-phi 12205

This theorem is referenced by: eulerth 12227

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