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Theorem eulerthlemth 12598

Description: Lemma for eulerth 12599. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12596	. . . . 5
5	1	simp1d 1012	. . . . . 6
6	1	simp2d 1013	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12584	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9355	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10706	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9406	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9501	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10583	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3279	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3226	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10351	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9397	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3203	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3203	. . . . . . . . 9
20		f1of 5529	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5722	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3192	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11964	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9508	. . . . . 6
26		fveq2 5583	. . . . . . . . 9
27		eqid 2206	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12597	. . . . . . . . 9
29		eqid 2206	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5583	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5967	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5966	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4144	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12593	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5583	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5967	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5966	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4144	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5424	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5657	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2206	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5583	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5967	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5966	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9508	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10499	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5680	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5587	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2239	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5722	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3192	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9503	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11943	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12356	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12339	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9501	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12339	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1014	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2241	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2241	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2245	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5958	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2933	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5854	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11921	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2240	. . . . . . 7
89		fveq2 5583	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11914	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2293	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2283	. . . . . 6
93		moddvds 12154	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1250	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9503	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8098	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2265	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5967	. . . . 5
100	10	zcnd 9503	. . . . . 6
101		ax-1cn 8025	. . . . . . 7
102		subdir 8465	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1338	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9507	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9503	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8101	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2245	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4073	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12595	. . 3
111		coprmdvds 12458	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1250	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9405	. . . 4
115		moddvds 12154	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1339	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2177

crab 2489 class class class wbr 4047

cmpt 4109

ccnv 4678

ccom 4683

wf 5272

wf1o 5275

cfv 5276 (class class class)co 5951

cc 7930

cc0 7932

c1 7933

cmul 7937

cmin 8250

cn 9043

cn0 9302

cz 9379

cfz 10137 ..^cfzo 10271

cmo 10474

cexp 10690

cprod 11905

cdvds 12142

cgcd 12318

cphi 12575

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2179 ax-14 2180 ax-ext 2188 ax-coll 4163 ax-sep 4166 ax-nul 4174 ax-pow 4222 ax-pr 4257 ax-un 4484 ax-setind 4589 ax-iinf 4640 ax-cnex 8023 ax-resscn 8024 ax-1cn 8025 ax-1re 8026 ax-icn 8027 ax-addcl 8028 ax-addrcl 8029 ax-mulcl 8030 ax-mulrcl 8031 ax-addcom 8032 ax-mulcom 8033 ax-addass 8034 ax-mulass 8035 ax-distr 8036 ax-i2m1 8037 ax-0lt1 8038 ax-1rid 8039 ax-0id 8040 ax-rnegex 8041 ax-precex 8042 ax-cnre 8043 ax-pre-ltirr 8044 ax-pre-ltwlin 8045 ax-pre-lttrn 8046 ax-pre-apti 8047 ax-pre-ltadd 8048 ax-pre-mulgt0 8049 ax-pre-mulext 8050 ax-arch 8051 ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2193 df-cleq 2199 df-clel 2202 df-nfc 2338 df-ne 2378 df-nel 2473 df-ral 2490 df-rex 2491 df-reu 2492 df-rmo 2493 df-rab 2494 df-v 2775 df-sbc 3000 df-csb 3095 df-dif 3169 df-un 3171 df-in 3173 df-ss 3180 df-nul 3462 df-if 3573 df-pw 3619 df-sn 3640 df-pr 3641 df-op 3643 df-uni 3853 df-int 3888 df-iun 3931 df-br 4048 df-opab 4110 df-mpt 4111 df-tr 4147 df-id 4344 df-po 4347 df-iso 4348 df-iord 4417 df-on 4419 df-ilim 4420 df-suc 4422 df-iom 4643 df-xp 4685 df-rel 4686 df-cnv 4687 df-co 4688 df-dm 4689 df-rn 4690 df-res 4691 df-ima 4692 df-iota 5237 df-fun 5278 df-fn 5279 df-f 5280 df-f1 5281 df-fo 5282 df-f1o 5283 df-fv 5284 df-isom 5285 df-riota 5906 df-ov 5954 df-oprab 5955 df-mpo 5956 df-1st 6233 df-2nd 6234 df-recs 6398 df-irdg 6463 df-frec 6484 df-1o 6509 df-oadd 6513 df-er 6627 df-en 6835 df-dom 6836 df-fin 6837 df-sup 7093 df-pnf 8116 df-mnf 8117 df-xr 8118 df-ltxr 8119 df-le 8120 df-sub 8252 df-neg 8253 df-reap 8655 df-ap 8662 df-div 8753 df-inn 9044 df-2 9102 df-3 9103 df-4 9104 df-n0 9303 df-z 9380 df-uz 9656 df-q 9748 df-rp 9783 df-fz 10138 df-fzo 10272 df-fl 10420 df-mod 10475 df-seqfrec 10600 df-exp 10691 df-ihash 10928 df-cj 11197 df-re 11198 df-im 11199 df-rsqrt 11353 df-abs 11354 df-clim 11634 df-proddc 11906 df-dvds 12143 df-gcd 12319 df-phi 12577

This theorem is referenced by: eulerth 12599

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