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Theorem eulerthlemth 12370

Description: Lemma for eulerth 12371. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12368	. . . . 5
5	1	simp1d 1011	. . . . . 6
6	1	simp2d 1012	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12356	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9293	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10625	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9344	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9438	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10502	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3264	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3211	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10282	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9335	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3188	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3188	. . . . . . . . 9
20		f1of 5500	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3177	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11752	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9445	. . . . . 6
26		fveq2 5554	. . . . . . . . 9
27		eqid 2193	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12369	. . . . . . . . 9
29		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4125	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12365	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4125	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5396	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5628	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10418	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5651	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5558	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3177	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9440	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11731	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 12128	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 12111	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 12111	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 12111	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2232	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2919	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11709	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2227	. . . . . . 7
89		fveq2 5554	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11702	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2280	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2270	. . . . . 6
93		moddvds 11942	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1249	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9440	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 8038	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2252	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5934	. . . . 5
100	10	zcnd 9440	. . . . . 6
101		ax-1cn 7965	. . . . . . 7
102		subdir 8405	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1336	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9444	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9440	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 8041	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2232	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4055	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12367	. . 3
111		coprmdvds 12230	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1249	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9343	. . . 4
115		moddvds 11942	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1337	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

crab 2476 class class class wbr 4029

cmpt 4090

ccnv 4658

ccom 4663

wf 5250

wf1o 5253

cfv 5254 (class class class)co 5918

cc 7870

cc0 7872

c1 7873

cmul 7877

cmin 8190

cn 8982

cn0 9240

cz 9317

cfz 10074 ..^cfzo 10208

cmo 10393

cexp 10609

cprod 11693

cdvds 11930

cgcd 12079

cphi 12347

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-proddc 11694 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-phi 12349

This theorem is referenced by: eulerth 12371

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