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Theorem eulerthlemth 12164

Description: Lemma for eulerth 12165. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12162	. . . . 5
5	1	simp1d 999	. . . . . 6
6	1	simp2d 1000	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12150	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9167	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10470	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . . 7
11		1zzd 9218	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9312	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10366	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3227	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3174	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10150	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9209	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3151	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3151	. . . . . . . . 9
20		f1of 5432	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3140	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11550	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9319	. . . . . 6
26		fveq2 5486	. . . . . . . . 9
27		eqid 2165	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12163	. . . . . . . . 9
29		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12159	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5330	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 121	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5557	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2165	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9319	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10282	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3140	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9314	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11529	. . . . . . . 8
60	3	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 11924	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 11907	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 11907	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 11907	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12030	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 430	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2885	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5746	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11507	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2199	. . . . . . 7
89		fveq2 5486	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11500	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2253	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2243	. . . . . 6
93		moddvds 11739	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1228	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 146	. . . 4
96	24	zcnd 9314	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 7917	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2225	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5858	. . . . 5
100	10	zcnd 9314	. . . . . 6
101		ax-1cn 7846	. . . . . . 7
102		subdir 8284	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1315	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 409	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9318	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9314	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 7920	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2204	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4008	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12161	. . 3
111		coprmdvds 12024	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1228	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 430	. 2
114		1z 9217	. . . 4
115		moddvds 11739	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1316	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 409	. 2
118	113, 117	mpbird 166	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

crab 2448 class class class wbr 3982

cmpt 4043

ccnv 4603

ccom 4608

wf 5184

wf1o 5187

cfv 5188 (class class class)co 5842

cc 7751

cc0 7753

c1 7754

cmul 7758

cmin 8069

cn 8857

cn0 9114

cz 9191

cfz 9944 ..^cfzo 10077

cmo 10257

cexp 10454

cprod 11491

cdvds 11727

cgcd 11875

cphi 12141

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 821 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-irdg 6338 df-frec 6359 df-1o 6384 df-oadd 6388 df-er 6501 df-en 6707 df-dom 6708 df-fin 6709 df-sup 6949 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-fl 10205 df-mod 10258 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-ihash 10689 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-clim 11220 df-proddc 11492 df-dvds 11728 df-gcd 11876 df-phi 12143

This theorem is referenced by: eulerth 12165

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