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Theorem eulerthlemth 12232

Description: Lemma for eulerth 12233. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12230	. . . . 5
5	1	simp1d 1009	. . . . . 6
6	1	simp2d 1010	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12218	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9229	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10535	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7
11		1zzd 9280	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9374	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10431	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3241	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3188	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10215	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9271	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3165	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3165	. . . . . . . . 9
20		f1of 5462	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelcdmda 5652	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sselid 3154	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11617	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9381	. . . . . 6
26		fveq2 5516	. . . . . . . . 9
27		eqid 2177	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12231	. . . . . . . . 9
29		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4100	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12227	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4100	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5359	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 122	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5588	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 283	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5516	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9381	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10347	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5610	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelcdmda 5652	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sselid 3154	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9376	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11596	. . . . . . . 8
60	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 11992	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 11975	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9374	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 11975	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 11975	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 12098	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2897	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5779	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11574	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2211	. . . . . . 7
89		fveq2 5516	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11567	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2264	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2254	. . . . . 6
93		moddvds 11806	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1238	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 147	. . . 4
96	24	zcnd 9376	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 7976	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2236	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5891	. . . . 5
100	10	zcnd 9376	. . . . . 6
101		ax-1cn 7904	. . . . . . 7
102		subdir 8343	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1325	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 411	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9380	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9376	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 7979	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2216	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 4030	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12229	. . 3
111		coprmdvds 12092	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1238	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 433	. 2
114		1z 9279	. . . 4
115		moddvds 11806	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1326	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 411	. 2
118	113, 117	mpbird 167	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

crab 2459 class class class wbr 4004

cmpt 4065

ccnv 4626

ccom 4631

wf 5213

wf1o 5216

cfv 5217 (class class class)co 5875

cc 7809

cc0 7811

c1 7812

cmul 7816

cmin 8128

cn 8919

cn0 9176

cz 9253

cfz 10008 ..^cfzo 10142

cmo 10322

cexp 10519

cprod 11558

cdvds 11794

cgcd 11943

cphi 12209

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 ax-cnex 7902 ax-resscn 7903 ax-1cn 7904 ax-1re 7905 ax-icn 7906 ax-addcl 7907 ax-addrcl 7908 ax-mulcl 7909 ax-mulrcl 7910 ax-addcom 7911 ax-mulcom 7912 ax-addass 7913 ax-mulass 7914 ax-distr 7915 ax-i2m1 7916 ax-0lt1 7917 ax-1rid 7918 ax-0id 7919 ax-rnegex 7920 ax-precex 7921 ax-cnre 7922 ax-pre-ltirr 7923 ax-pre-ltwlin 7924 ax-pre-lttrn 7925 ax-pre-apti 7926 ax-pre-ltadd 7927 ax-pre-mulgt0 7928 ax-pre-mulext 7929 ax-arch 7930 ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-if 3536 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-ilim 4370 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-isom 5226 df-riota 5831 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-frec 6392 df-1o 6417 df-oadd 6421 df-er 6535 df-en 6741 df-dom 6742 df-fin 6743 df-sup 6983 df-pnf 7994 df-mnf 7995 df-xr 7996 df-ltxr 7997 df-le 7998 df-sub 8130 df-neg 8131 df-reap 8532 df-ap 8539 df-div 8630 df-inn 8920 df-2 8978 df-3 8979 df-4 8980 df-n0 9177 df-z 9254 df-uz 9529 df-q 9620 df-rp 9654 df-fz 10009 df-fzo 10143 df-fl 10270 df-mod 10323 df-seqfrec 10446 df-exp 10520 df-ihash 10756 df-cj 10851 df-re 10852 df-im 10853 df-rsqrt 11007 df-abs 11008 df-clim 11287 df-proddc 11559 df-dvds 11795 df-gcd 11944 df-phi 12211

This theorem is referenced by: eulerth 12233

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