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Theorem eulerthlemth 12099

Description: Lemma for eulerth 12100. The result. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Sep-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eulerth.1	$/\$ $/\$
eulerth.2	..^
eulerth.4

**Assertion**
Ref	Expression
eulerthlemth

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem eulerthlemth Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerth.1	. . . . . 6 $/\$ $/\$
2		eulerth.2	. . . . . 6 ..^
3		eulerth.4	. . . . . 6
4	1, 2, 3	eulerthlema 12097	. . . . 5
5	1	simp1d 994	. . . . . 6
6	1	simp2d 995	. . . . . . . 8
7	5	phicld 12085	. . . . . . . . 9
8	7	nnnn0d 9138	. . . . . . . 8
9		zexpcl 10429	. . . . . . . 8 $/\$
10	6, 8, 9	syl2anc 409	. . . . . . 7
11		1zzd 9189	. . . . . . . . 9
12	7	nnzd 9280	. . . . . . . . 9
13	11, 12	fzfigd 10325	. . . . . . . 8
14		ssrab2 3213	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
15	2, 14	eqsstri 3160	. . . . . . . . . 10 ..^
16		fzo0ssnn0 10109	. . . . . . . . . . 11 ..^
17		nn0ssz 9180	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	sstri 3137	. . . . . . . . . 10 ..^
19	15, 18	sstri 3137	. . . . . . . . 9
20		f1of 5413	. . . . . . . . . . 11
21	3, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10
22	21	ffvelrnda 5601	. . . . . . . . 9 $/\$
23	19, 22	sseldi 3126	. . . . . . . 8 $/\$
24	13, 23	fprodzcl 11501	. . . . . . 7
25	10, 24	zmulcld 9287	. . . . . 6
26		fveq2 5467	. . . . . . . . 9
27		eqid 2157	. . . . . . . . . 10
28	1, 2, 3, 27	eulerthlemh 12098	. . . . . . . . 9
29		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . 13
30		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . . . . . 16
31	30	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . . . . 15
32	31	oveq1d 5836	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	cbvmptv 4060	. . . . . . . . . . . . 13
34	1, 2, 29, 3, 33	eulerthlem1 12094	. . . . . . . . . . . 12
35		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	oveq1d 5836	. . . . . . . . . . . . . 14
38	37	cbvmptv 4060	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	feq1i 5311	. . . . . . . . . . . 12
40	34, 39	sylib 121	. . . . . . . . . . 11
41		fvco3 5538	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	40, 41	sylan 281	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		eqid 2157	. . . . . . . . . . . 12
44		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . . 13
46	45	oveq1d 5836	. . . . . . . . . . . 12
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
48	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
49	48, 23	zmulcld 9287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	5	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51		zmodfzo 10241	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^
52	49, 50, 51	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
53	43, 46, 47, 52	fvmptd3 5560	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	53	fveq2d 5471	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	42, 54	eqtrd 2190	. . . . . . . . 9 $/\$
56	21	ffvelrnda 5601	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57	19, 56	sseldi 3126	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	zcnd 9282	. . . . . . . . 9 $/\$
59	26, 13, 28, 55, 58	fprodf1o 11480	. . . . . . . 8
60	3	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$
61		modgcd 11869	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	49, 50, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
63	50	nnzd 9280	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
64	63, 49	gcdcomd 11852	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
65	5	nnzd 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	6, 65	gcdcomd 11852	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	1	simp3d 996	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	eqtr3d 2192	. . . . . . . . . . . . . 14
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	23, 63	gcdcomd 11852	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
71		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	72, 2	elrab2 2871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
74	22, 73	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$
75	74	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
76	70, 75	eqtr3d 2192	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
77		rpmul 11969	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	63, 48, 23, 77	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79	69, 76, 78	mp2and 430	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
80	62, 64, 79	3eqtr2d 2196	. . . . . . . . . . 11 $/\$
81		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . 12
83	82, 2	elrab2 2871	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
84	52, 80, 83	sylanbrc 414	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		f1ocnvfv2 5725	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	60, 84, 85	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 $/\$
87	86	prodeq2dv 11458	. . . . . . . 8
88	59, 87	eqtr2d 2191	. . . . . . 7
89		fveq2 5467	. . . . . . . . 9
90	89	cbvprodv 11451	. . . . . . . 8
91	90, 24	eqeltrid 2244	. . . . . . 7
92	88, 91	eqeltrd 2234	. . . . . 6
93		moddvds 11690	. . . . . 6 $/\$ $/\$
94	5, 25, 92, 93	syl3anc 1220	. . . . 5
95	4, 94	mpbid 146	. . . 4
96	24	zcnd 9282	. . . . . . . 8
97	96	mulid2d 7891	. . . . . . 7
98	90, 88, 97	3eqtr4a 2216	. . . . . 6
99	98	oveq2d 5837	. . . . 5
100	10	zcnd 9282	. . . . . 6
101		ax-1cn 7820	. . . . . . 7
102		subdir 8256	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
103	101, 102	mp3an2 1307	. . . . . 6 $/\$
104	100, 96, 103	syl2anc 409	. . . . 5
105	10, 11	zsubcld 9286	. . . . . . 7
106	105	zcnd 9282	. . . . . 6
107	106, 96	mulcomd 7894	. . . . 5
108	99, 104, 107	3eqtr2d 2196	. . . 4
109	95, 108	breqtrd 3990	. . 3
110	1, 2, 3	eulerthlemrprm 12096	. . 3
111		coprmdvds 11963	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
112	65, 24, 105, 111	syl3anc 1220	. . 3 $/\$
113	109, 110, 112	mp2and 430	. 2
114		1z 9188	. . . 4
115		moddvds 11690	. . . 4 $/\$ $/\$
116	114, 115	mp3an3 1308	. . 3 $/\$
117	5, 10, 116	syl2anc 409	. 2
118	113, 117	mpbird 166	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 963

wceq 1335

wcel 2128

crab 2439 class class class wbr 3965

cmpt 4025

ccnv 4584

ccom 4589

wf 5165

wf1o 5168

cfv 5169 (class class class)co 5821

cc 7725

cc0 7727

c1 7728

cmul 7732

cmin 8041

cn 8828

cn0 9085

cz 9162

cfz 9907 ..^cfzo 10036

cmo 10216

cexp 10413

cprod 11442

cdvds 11678

cgcd 11823

cphi 12077

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4079 ax-sep 4082 ax-nul 4090 ax-pow 4135 ax-pr 4169 ax-un 4393 ax-setind 4495 ax-iinf 4546 ax-cnex 7818 ax-resscn 7819 ax-1cn 7820 ax-1re 7821 ax-icn 7822 ax-addcl 7823 ax-addrcl 7824 ax-mulcl 7825 ax-mulrcl 7826 ax-addcom 7827 ax-mulcom 7828 ax-addass 7829 ax-mulass 7830 ax-distr 7831 ax-i2m1 7832 ax-0lt1 7833 ax-1rid 7834 ax-0id 7835 ax-rnegex 7836 ax-precex 7837 ax-cnre 7838 ax-pre-ltirr 7839 ax-pre-ltwlin 7840 ax-pre-lttrn 7841 ax-pre-apti 7842 ax-pre-ltadd 7843 ax-pre-mulgt0 7844 ax-pre-mulext 7845 ax-arch 7846 ax-caucvg 7847

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3395 df-if 3506 df-pw 3545 df-sn 3566 df-pr 3567 df-op 3569 df-uni 3773 df-int 3808 df-iun 3851 df-br 3966 df-opab 4026 df-mpt 4027 df-tr 4063 df-id 4253 df-po 4256 df-iso 4257 df-iord 4326 df-on 4328 df-ilim 4329 df-suc 4331 df-iom 4549 df-xp 4591 df-rel 4592 df-cnv 4593 df-co 4594 df-dm 4595 df-rn 4596 df-res 4597 df-ima 4598 df-iota 5134 df-fun 5171 df-fn 5172 df-f 5173 df-f1 5174 df-fo 5175 df-f1o 5176 df-fv 5177 df-isom 5178 df-riota 5777 df-ov 5824 df-oprab 5825 df-mpo 5826 df-1st 6085 df-2nd 6086 df-recs 6249 df-irdg 6314 df-frec 6335 df-1o 6360 df-oadd 6364 df-er 6477 df-en 6683 df-dom 6684 df-fin 6685 df-sup 6925 df-pnf 7909 df-mnf 7910 df-xr 7911 df-ltxr 7912 df-le 7913 df-sub 8043 df-neg 8044 df-reap 8445 df-ap 8452 df-div 8541 df-inn 8829 df-2 8887 df-3 8888 df-4 8889 df-n0 9086 df-z 9163 df-uz 9435 df-q 9524 df-rp 9556 df-fz 9908 df-fzo 10037 df-fl 10164 df-mod 10217 df-seqfrec 10340 df-exp 10414 df-ihash 10645 df-cj 10737 df-re 10738 df-im 10739 df-rsqrt 10893 df-abs 10894 df-clim 11171 df-proddc 11443 df-dvds 11679 df-gcd 11824 df-phi 12078

This theorem is referenced by: eulerth 12100

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