ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddnn02np1 Unicode version

Theorem oddnn02np1 11855
Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddnn02np1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem oddnn02np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2 elnn0z 9242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0  <->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
3 2tnp1ge0ge0 10274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 )  <->  0  <_  n ) )
43biimpd 144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 )  -> 
0  <_  n )
)
54imdistani 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  0  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  -> 
( n  e.  ZZ  /\  0  <_  n )
)
65expcom 116 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  /\  0  <_  n ) ) )
7 elnn0z 9242 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  <->  ( n  e.  ZZ  /\  0  <_  n ) )
86, 7syl6ibr 162 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN0 ) )
92, 8simplbiim 387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN0 ) )
101, 9syl6bir 164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN0 ) ) )
1110com13 80 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN0 ) ) )
1211impcom 125 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN0 ) )
1312pm4.71rd 394 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
1413bicomd 141 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( n  e. 
NN0  /\  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  N )  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
1514rexbidva 2474 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
n  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
16 nn0ssz 9247 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
17 rexss 3222 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
1816, 17mp1i 10 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  NN0  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  e. 
NN0  /\  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
19 nn0z 9249 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
20 odd2np1 11848 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2215, 18, 213bitr4rd 221 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456    C_ wss 3129   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   0cc0 7789   1c1 7790    + caddc 7792    x. cmul 7794    <_ cle 7970   2c2 8946   NN0cn0 9152   ZZcz 9229    || cdvds 11765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-dvds 11766
This theorem is referenced by:  oddge22np1  11856
  Copyright terms: Public domain W3C validator