Theorem oddnn02np1 11422

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
2		elnn0z 8968	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3		2tnp1ge0ge0 9964	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) <-> 0 <_ n ) )
4	3	biimpd 143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 <_ n ) )
5	4	imdistani 439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
6	5	expcom 115	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) ) )
7		elnn0z 8968	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 <-> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
8	6, 7	syl6ibr 161	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
9	2, 8	simplbiim 382	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
10	1, 9	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) ) )
11	10	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) ) )
12	11	impcom 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) )
13	12	pm4.71rd 389	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
14	13	bicomd 140	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
15	14	rexbidva 2408	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		nn0ssz 8973	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
17		rexss 3130	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
18	16, 17	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
19		nn0z 8975	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
20		odd2np1 11415	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
22	15, 18, 21	3bitr4rd 220	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   E.wrex 2391   C_ wss 3037   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728   0cc0 7544   1c1 7545   + caddc 7547   x. cmul 7549   <_ cle 7722   2c2 8678   NN0cn0 8878   ZZcz 8955   || cdvds 11338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-mulrcl 7641  ax-addcom 7642  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-mulass 7645  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-1rid 7649  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-precex 7652  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658  ax-pre-mulgt0 7659  ax-pre-mulext 7660

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-reap 8252  df-ap 8259  df-div 8343  df-inn 8628  df-2 8686  df-n0 8879  df-z 8956  df-dvds 11339

This theorem is referenced by:  oddge22np1  11423