Theorem oddnn02np1 12630

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
2		elnn0z 9640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3		2tnp1ge0ge0 10719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) <-> 0 <_ n ) )
4	3	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 <_ n ) )
5	4	imdistani 449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
6	5	expcom 116	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) ) )
7		elnn0z 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 <-> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
8	6, 7	imbitrrdi 162	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
9	2, 8	simplbiim 391	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
10	1, 9	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) ) )
11	10	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) ) )
12	11	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) )
13	12	pm4.71rd 398	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
14	13	bicomd 141	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
15	14	rexbidva 2547	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		nn0ssz 9645	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
17		rexss 3315	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
18	16, 17	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
19		nn0z 9647	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
20		odd2np1 12623	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
22	15, 18, 21	3bitr4rd 221	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   x. cmul 8178   <_ cle 8355   2c2 9338   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   || cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  oddge22np1  12631  2lgslem1c  16192