ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddnn02np1 Unicode version

Theorem oddnn02np1 10660
Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddnn02np1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem oddnn02np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2 elnn0z 8659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0  <->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
3 2tnp1ge0ge0 9597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 )  <->  0  <_  n ) )
43biimpd 142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( (
2  x.  n )  +  1 )  -> 
0  <_  n )
)
54imdistani 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  0  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  -> 
( n  e.  ZZ  /\  0  <_  n )
)
65expcom 114 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  /\  0  <_  n ) ) )
7 elnn0z 8659 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  <->  ( n  e.  ZZ  /\  0  <_  n ) )
86, 7syl6ibr 160 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  (
n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN0 ) )
92, 8simplbiim 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN0 ) )
101, 9syl6bir 162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
n  e.  ZZ  ->  n  e.  NN0 ) ) )
1110com13 79 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN0 ) ) )
1211impcom 123 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN0 ) )
1312pm4.71rd 386 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <-> 
( n  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
1413bicomd 139 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( n  e. 
NN0  /\  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  N )  <->  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
1514rexbidva 2371 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  ZZ  (
n  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
16 nn0ssz 8664 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
17 rexss 3072 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  e.  NN0  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
1816, 17mp1i 10 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E. n  e.  NN0  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( n  e. 
NN0  /\  ( (
2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
19 nn0z 8666 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
20 odd2np1 10653 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2215, 18, 213bitr4rd 219 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354    C_ wss 2984   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   0cc0 7253   1c1 7254    + caddc 7256    x. cmul 7258    <_ cle 7426   2c2 8366   NN0cn0 8565   ZZcz 8646    || cdvds 10576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-n0 8566  df-z 8647  df-dvds 10577
This theorem is referenced by:  oddge22np1  10661
  Copyright terms: Public domain W3C validator