Theorem oddnn02np1 11577

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
2		elnn0z 9067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3		2tnp1ge0ge0 10074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) <-> 0 <_ n ) )
4	3	biimpd 143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 <_ n ) )
5	4	imdistani 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
6	5	expcom 115	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) ) )
7		elnn0z 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 <-> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
8	6, 7	syl6ibr 161	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
9	2, 8	simplbiim 384	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
10	1, 9	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) ) )
11	10	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) ) )
12	11	impcom 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) )
13	12	pm4.71rd 391	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
14	13	bicomd 140	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
15	14	rexbidva 2434	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		nn0ssz 9072	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
17		rexss 3164	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
18	16, 17	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
19		nn0z 9074	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
20		odd2np1 11570	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
22	15, 18, 21	3bitr4rd 220	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   C_ wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   <_ cle 7801   2c2 8771   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-dvds 11494

This theorem is referenced by:  oddge22np1  11578