Theorem nnrecgt0 8955

Description: The reciprocal of a positive integer is positive. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem nnrecgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 8940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2		0lt1 8082	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		nnre 8924	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		0re 7956	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7955	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8045	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8		recgt0 8805	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
9	8	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
10	7, 9	syld 45	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
11	3, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
12	2, 11	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
13	1, 12	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   < clt 7990   ≤ cle 7991   / cdiv 8627  ℕcn 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918

This theorem is referenced by: (None)