Theorem oppraddg 14326

Description: Addition operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
oppradd.2	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppraddg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝑂))

Proof of Theorem oppraddg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppradd.2	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		plusgslid 13415	. . 3 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4		plusgndxnmulrndx 13436	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprsllem 14324	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
6	1, 5	eqtrid 2279	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → + = (+g‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5359  +_gcplusg 13380  opp_rcoppr 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-fv 5367  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-tpos 6491  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-sets 13309  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-oppr 14318

This theorem is referenced by:  opprrng  14327  opprrngbg  14328  opprring  14329  opprringbg  14330  oppr0g  14332  opprnegg  14334  opprsubgg  14335  mulgass3  14336  rhmopp  14428  opprlring  14449  opprdrng  14565  crngridl  14811