Theorem seqhomog 10891

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqhomo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqhomo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqhomo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
seqhomo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
seqhomog.f	|- ( ph -> F e. V )
seqhomog.g	|- ( ph -> G e. W )
seqhomog.p	|- ( ph -> .+ e. X )
seqhomog.q	|- ( ph -> Q e. Y )

Assertion

Ref	Expression
seqhomog	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   G( y)   V( x, y)   W( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem seqhomog

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqhomo.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10365	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		2fveq3 5674	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) )
6		fveq2 5669	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
7	5, 6	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
8	4, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) ) )
10		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
11		2fveq3 5674	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
12		fveq2 5669	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) )
13	11, 12	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) )
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) ) )
16		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
17		2fveq3 5674	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
18		fveq2 5669	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
23		2fveq3 5674	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
24		fveq2 5669	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )
25	23, 24	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
26	22, 25	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) ) )
28		2fveq3 5674	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
29		fveq2 5669	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
30	28, 29	eqeq12d 2247	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
31		seqhomo.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
32	31	ralrimiva 2615	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
33		eluzfz1 10364	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
35	30, 32, 34	rspcdva 2925	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
36		eluzel2 9857	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
38		seqhomog.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. V )
39		seqhomog.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ e. X )
40		seq1g 10824	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V /\ .+ e. X ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
42	41	fveq2d 5673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
43		seqhomog.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. W )
44		seqhomog.q	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. Y )
45		seq1g 10824	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ G e. W /\ Q e. Y ) -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
46	37, 43, 44, 45	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
47	35, 42, 46	3eqtr4d 2275	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
48	47	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
49		peano2fzr 10370	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
51	50	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
52	51	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
53		oveq1 6056	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
54		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
55	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> F e. V )
56	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> .+ e. X )
57		seqp1g 10827	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ F e. V /\ .+ e. X ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
59	58	fveq2d 5673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
60		seqhomo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
61	60	ralrimivva 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
63		elfzuz3 10355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
64		fzss2 10397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
65	50, 63, 64	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
66	65	sselda 3237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. ( M ... N ) )
67		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
68	67	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
69	66, 68	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
70		seqhomo.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	70	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
72	54, 69, 71, 55, 56	seqclg 10833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
73		fveq2 5669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
74	73	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
75	67	ralrimiva 2615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
77		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
78	74, 76, 77	rspcdva 2925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
79		fvoveq1 6072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) )
80		fveq2 5669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
81	80	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
82	79, 81	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
83		oveq2 6057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
84	83	fveq2d 5673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
85		fveq2 5669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
86	85	oveq2d 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
88	82, 87	rspc2v 2933	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
89	72, 78, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
90	62, 89	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
91		2fveq3 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
92		fveq2 5669	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
93	91, 92	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
94	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
95	93, 94, 77	rspcdva 2925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
96	95	oveq2d 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
97	59, 90, 96	3eqtrd 2269	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
98	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> G e. W )
99	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> Q e. Y )
100		seqp1g 10827	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. W /\ Q e. Y ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
101	54, 98, 99, 100	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
102	97, 101	eqeq12d 2247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
103	53, 102	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
104	52, 103	animpimp2impd 561	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
105	9, 15, 21, 27, 48, 104	uzind4i 9923	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
106	1, 105	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
107	3, 106	mpd 13	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3210   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   1c1 8127   + caddc 8129   ZZcz 9576   ZZ>=cuz 9852   ...cfz 10341   seqcseq 10808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809

This theorem is referenced by:  gsumwmhm  13703  gsumfzmhm  14052