Theorem seqhomog 10624

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqhomo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqhomo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqhomo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
seqhomo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
seqhomog.f	|- ( ph -> F e. V )
seqhomog.g	|- ( ph -> G e. W )
seqhomog.p	|- ( ph -> .+ e. X )
seqhomog.q	|- ( ph -> Q e. Y )

Assertion

Ref	Expression
seqhomog	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   G( y)   V( x, y)   W( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem seqhomog

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqhomo.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10109	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		2fveq3 5564	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) )
6		fveq2 5559	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
7	5, 6	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
8	4, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) ) )
10		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
11		2fveq3 5564	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
12		fveq2 5559	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) )
13	11, 12	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) )
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) ) )
16		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
17		2fveq3 5564	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
18		fveq2 5559	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
23		2fveq3 5564	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
24		fveq2 5559	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )
25	23, 24	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
26	22, 25	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) ) )
28		2fveq3 5564	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
29		fveq2 5559	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
30	28, 29	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
31		seqhomo.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
32	31	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
33		eluzfz1 10108	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
35	30, 32, 34	rspcdva 2873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
36		eluzel2 9608	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
38		seqhomog.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. V )
39		seqhomog.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ e. X )
40		seq1g 10557	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V /\ .+ e. X ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
42	41	fveq2d 5563	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
43		seqhomog.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. W )
44		seqhomog.q	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. Y )
45		seq1g 10557	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ G e. W /\ Q e. Y ) -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
46	37, 43, 44, 45	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
47	35, 42, 46	3eqtr4d 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
48	47	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
49		peano2fzr 10114	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
51	50	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
52	51	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
53		oveq1 5930	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
54		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
55	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> F e. V )
56	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> .+ e. X )
57		seqp1g 10560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ F e. V /\ .+ e. X ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
59	58	fveq2d 5563	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
60		seqhomo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
61	60	ralrimivva 2579	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
63		elfzuz3 10099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
64		fzss2 10141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
65	50, 63, 64	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
66	65	sselda 3184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. ( M ... N ) )
67		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
68	67	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
69	66, 68	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
70		seqhomo.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	70	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
72	54, 69, 71, 55, 56	seqclg 10566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
73		fveq2 5559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
74	73	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
75	67	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
77		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
78	74, 76, 77	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
79		fvoveq1 5946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) )
80		fveq2 5559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
81	80	oveq1d 5938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
82	79, 81	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
83		oveq2 5931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
84	83	fveq2d 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
85		fveq2 5559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
86	85	oveq2d 5939	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
88	82, 87	rspc2v 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
89	72, 78, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
90	62, 89	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
91		2fveq3 5564	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
92		fveq2 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
93	91, 92	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
94	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
95	93, 94, 77	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
96	95	oveq2d 5939	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
97	59, 90, 96	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
98	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> G e. W )
99	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> Q e. Y )
100		seqp1g 10560	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. W /\ Q e. Y ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
101	54, 98, 99, 100	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
102	97, 101	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
103	53, 102	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
104	52, 103	animpimp2impd 559	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
105	9, 15, 21, 27, 48, 104	uzind4i 9668	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
106	1, 105	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
107	3, 106	mpd 13	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   1c1 7882   + caddc 7884   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   ...cfz 10085   seqcseq 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542

This theorem is referenced by:  gsumwmhm  13140  gsumfzmhm  13483