Theorem seqhomog 10607

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqhomo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqhomo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seqhomo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seqhomo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
seqhomo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
seqhomog.f	|- ( ph -> F e. V )
seqhomog.g	|- ( ph -> G e. W )
seqhomog.p	|- ( ph -> .+ e. X )
seqhomog.q	|- ( ph -> Q e. Y )

Assertion

Ref	Expression
seqhomog	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   G( y)   V( x, y)   W( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem seqhomog

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqhomo.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10104	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( x e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		2fveq3 5563	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) )
6		fveq2 5558	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
7	5, 6	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
8	4, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) ) )
10		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
11		2fveq3 5563	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
12		fveq2 5558	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) )
13	11, 12	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) )
14	10, 13	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) ) )
16		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
17		2fveq3 5563	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
18		fveq2 5558	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
23		2fveq3 5563	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
24		fveq2 5558	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq M ( Q , G ) ` x ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )
25	23, 24	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
26	22, 25	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` x ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) ) )
28		2fveq3 5563	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
29		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
30	28, 29	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
31		seqhomo.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
32	31	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
33		eluzfz1 10103	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
34	1, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
35	30, 32, 34	rspcdva 2873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
36		eluzel2 9603	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
38		seqhomog.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. V )
39		seqhomog.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .+ e. X )
40		seq1g 10540	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V /\ .+ e. X ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
42	41	fveq2d 5562	. . . . . 6 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
43		seqhomog.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. W )
44		seqhomog.q	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. Y )
45		seq1g 10540	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ G e. W /\ Q e. Y ) -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
46	37, 43, 44, 45	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
47	35, 42, 46	3eqtr4d 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
48	47	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
49		peano2fzr 10109	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
51	50	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
52	51	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
53		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
54		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
55	38	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> F e. V )
56	39	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> .+ e. X )
57		seqp1g 10543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ F e. V /\ .+ e. X ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
59	58	fveq2d 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
60		seqhomo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
61	60	ralrimivva 2579	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
63		elfzuz3 10094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
64		fzss2 10136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
65	50, 63, 64	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( M ... n ) C_ ( M ... N ) )
66	65	sselda 3183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> x e. ( M ... N ) )
67		seqhomo.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
68	67	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
69	66, 68	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( M ... n ) ) -> ( F ` x ) e. S )
70		seqhomo.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
71	70	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
72	54, 69, 71, 55, 56	seqclg 10549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
73		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
74	73	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
75	67	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( F ` x ) e. S )
77		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
78	74, 76, 77	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
79		fvoveq1 5945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) )
80		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
81	80	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
82	79, 81	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
83		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
84	83	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
85		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
86	85	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
87	84, 86	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
88	82, 87	rspc2v 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
89	72, 78, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
90	62, 89	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
91		2fveq3 5563	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
92		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
93	91, 92	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
94	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. x e. ( M ... N ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
95	93, 94, 77	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
96	95	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
97	59, 90, 96	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
98	43	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> G e. W )
99	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> Q e. Y )
100		seqp1g 10543	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. W /\ Q e. Y ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
101	54, 98, 99, 100	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
102	97, 101	eqeq12d 2211	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
103	53, 102	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
104	52, 103	animpimp2impd 559	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
105	9, 15, 21, 27, 48, 104	uzind4i 9663	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
106	1, 105	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
107	3, 106	mpd 13	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1c1 7878   + caddc 7880   ZZcz 9323   ZZ>=cuz 9598   ...cfz 10080   seqcseq 10524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-seqfrec 10525

This theorem is referenced by:  gsumwmhm  13076  gsumfzmhm  13419