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Theorem seqhomog 10588
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqhomo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqhomo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seqhomo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seqhomo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seqhomo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
seqhomog.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
seqhomog.g  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
seqhomog.p  |-  ( ph  ->  .+  e.  X )
seqhomog.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
seqhomog  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    G( y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem seqhomog
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqhomo.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 10088 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  M  e.  ( M ... N ) ) )
5 2fveq3 5551 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) ) )
6 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M
) )
75, 6eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) )
84, 7imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( M  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) ) )
98imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) ) )
10 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  n  e.  ( M ... N ) ) )
11 2fveq3 5551 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
12 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n
) )
1311, 12eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )
1410, 13imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) ) )
1514imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) ) )
16 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) ) )
17 2fveq3 5551 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
18 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1917, 18eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
2016, 19imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
2120imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
22 eleq1 2256 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
23 2fveq3 5551 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
24 fveq2 5546 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  x
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N
) )
2523, 24eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) )
2622, 25imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) )  <->  ( N  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) ) )
2726imbi2d 230 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) ) )
28 2fveq3 5551 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
29 fveq2 5546 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
3028, 29eqeq12d 2208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
31 seqhomo.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
3231ralrimiva 2567 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
33 eluzfz1 10087 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
341, 33syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
3530, 32, 34rspcdva 2869 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
36 eluzel2 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
371, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 seqhomog.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
39 seqhomog.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .+  e.  X )
40 seq1g 10524 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V  /\  .+  e.  X )  -> 
(  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4241fveq2d 5550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
43 seqhomog.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
44 seqhomog.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  Y )
45 seq1g 10524 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  G  e.  W  /\  Q  e.  Y )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
4637, 43, 44, 45syl3anc 1249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
4735, 42, 463eqtr4d 2236 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) )
4847a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
49 peano2fzr 10093 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5049adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( M ... N ) )
5150expr 375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  n  e.  ( M ... N
) ) )
5251imim1d 75 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ( M ... N )  -> 
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
53 oveq1 5917 . . . . . 6  |-  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
54 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5538adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  F  e.  V )
5639adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  .+  e.  X
)
57 seqp1g 10527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  F  e.  V  /\  .+  e.  X )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5854, 55, 56, 57syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
5958fveq2d 5550 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
60 seqhomo.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
6160ralrimivva 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
6261adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
63 elfzuz3 10078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  n )
)
64 fzss2 10120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6550, 63, 643syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( M ... n )  C_  ( M ... N ) )
6665sselda 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  x  e.  ( M ... N ) )
67 seqhomo.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6867adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6966, 68syldan 282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  x  e.  ( M ... n ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
70 seqhomo.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7170adantlr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
7254, 69, 71, 55, 56seqclg 10533 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
73 fveq2 5546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
7473eleq1d 2262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
7567ralrimiva 2567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( M ... N ) ( F `  x
)  e.  S )
7675adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( F `  x )  e.  S
)
77 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7874, 76, 77rspcdva 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
79 fvoveq1 5933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
80 fveq2 5546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
8180oveq1d 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
8279, 81eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
83 oveq2 5918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8483fveq2d 5550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
85 fveq2 5546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8685oveq2d 5926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8784, 86eqeq12d 2208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8882, 87rspc2v 2877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
8972, 78, 88syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
9062, 89mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
91 2fveq3 5551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
92 fveq2 5546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
9391, 92eqeq12d 2208 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9432adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( M ... N
) ( H `  ( F `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
9593, 94, 77rspcdva 2869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
9695oveq2d 5926 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9759, 90, 963eqtrd 2230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9843adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  G  e.  W )
9944adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  Q  e.  Y )
100 seqp1g 10527 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  G  e.  W  /\  Q  e.  Y )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
10154, 98, 99, 100syl3anc 1249 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
10297, 101eqeq12d 2208 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) )  <->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10353, 102imbitrrid 156 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N ) ) )  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) )
10452, 103animpimp2impd 559 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
1059, 15, 21, 27, 48, 104uzind4i 9647 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
1061, 105mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
1073, 106mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472    C_ wss 3153   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   1c1 7863    + caddc 7865   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582   ...cfz 10064    seqcseq 10508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509
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