Theorem peano2fzr 10245

Description: A Peano-postulate-like theorem for downward closure of a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2fzr	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem peano2fzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 9743	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		elfzuz3 10230	. . 3 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
4		peano2uzr 9792	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 3, 4	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6		elfzuzb 10227	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
7	1, 5, 6	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  fzsuc  10277  peano2fzor  10450  seq3fveq2  10709  seqfveq2g  10711  seq3shft2  10715  seqshft2g  10716  monoord  10719  seq3split  10722  seqsplitg  10723  seq3id2  10760  seqhomog  10764