Theorem psr0 14671

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )
psr0.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr0.o	|- O = ( 0g ` R )
psr0.z	|- .0. = ( 0g ` S )

Assertion

Ref	Expression
psr0	|- ( ph -> .0. = ( D X. { O } ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   D( f)   R( f)   S( f)   O( f)   V( f)   .0. ( f)

Proof of Theorem psr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrgrp.i	. . 3 |- ( ph -> I e. V )
3		psrgrp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
4		psr0.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psr0.o	. . 3 |- O = ( 0g ` R )
6		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
7		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	psr0cl 14666	. . 3 |- ( ph -> ( D X. { O } ) e. ( Base ` S ) )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psr0lid 14667	. 2 |- ( ph -> ( ( D X. { O } ) ( +g ` S ) ( D X. { O } ) ) = ( D X. { O } ) )
10	1, 2, 3	psrgrp 14670	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
11		psr0.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` S )
12	6, 7, 11	grpid 13593	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ ( D X. { O } ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( ( D X. { O } ) ( +g ` S ) ( D X. { O } ) ) = ( D X. { O } ) <-> .0. = ( D X. { O } ) ) )
13	10, 8, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( ( D X. { O } ) ( +g ` S ) ( D X. { O } ) ) = ( D X. { O } ) <-> .0. = ( D X. { O } ) ) )
14	9, 13	mpbid 147	1 |- ( ph -> .0. = ( D X. { O } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   {csn 3666   X. cxp 4718   `'ccnv 4719   "cima 4723   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808   Fincfn 6900   NNcn 9126   NN0cn0 9385   Basecbs 13053   +g cplusg 13131   0gc0g 13310   Grpcgrp 13554   mPwSer cmps 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-map 6810  df-ixp 6859  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-hom 13155  df-cco 13156  df-rest 13295  df-topn 13296  df-0g 13312  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-prds 13321  df-pws 13344  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-minusg 13558  df-psr 14648

This theorem is referenced by:  psrneg  14672  mplsubgfilemm  14683  mpl0fi  14687