Theorem psr0lid 14310

Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )
psr0cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr0cl.o	|- .0. = ( 0g ` R )
psr0cl.b	|- B = ( Base ` S )
psr0lid.p	|- .+ = ( +g ` S )
psr0lid.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psr0lid	|- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) .+ X ) = X )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   .+ ( f)   R( f)   S( f)   V( f)   X( f)   .0. ( f)

Proof of Theorem psr0lid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		psr0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
3		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		psr0lid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
5		psrgrp.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
6		psrgrp.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
7		psr0cl.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
8		psr0cl.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
9	1, 5, 6, 7, 8, 2	psr0cl 14309	. . 3 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. B )
10		psr0lid.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
11	1, 2, 3, 4, 9, 10	psradd 14307	. 2 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) .+ X ) = ( ( D X. { .0. } ) oF ( +g ` R ) X ) )
12		fnmap 6723	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
13		nn0ex 9272	. . . . 5 |- NN0 e. _V
14	5	elexd 2776	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
15		fnovex 5958	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
16	12, 13, 14, 15	mp3an12i 1352	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
17	7, 16	rabexd 4179	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
18		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
19	1, 18, 7, 2, 10	psrelbas 14304	. . 3 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
20	18, 8	grpidcl 13231	. . . 4 |- ( R e. Grp -> .0. e. ( Base ` R ) )
21	6, 20	syl 14	. . 3 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` R ) )
22	18, 3, 8	grplid 13233	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) x ) = x )
23	6, 22	sylan 283	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) x ) = x )
24	17, 19, 21, 23	caofid0l 6166	. 2 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) oF ( +g ` R ) X ) = X )
25	11, 24	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) .+ X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   {csn 3623   X. cxp 4662   `'ccnv 4663   "cima 4667   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   oFcof 6137   ^m cmap 6716   Fincfn 6808   NNcn 9007   NN0cn0 9266   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Grpcgrp 13202   mPwSer cmps 14293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-tset 12799  df-rest 12943  df-topn 12944  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-psr 14294

This theorem is referenced by:  psr0  14314