Theorem psr0cl 14828

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )
psr0cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr0cl.o	|- .0. = ( 0g ` R )
psr0cl.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
psr0cl	|- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. B )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   V( f)   .0. ( f)

Proof of Theorem psr0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
2		eqid 2232	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr0cl.o	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 13734	. . . 4 |- ( R e. Grp -> .0. e. ( Base ` R ) )
5		fconst6g 5565	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` R ) -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
6	1, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
7		basfn 13263	. . . . 5 |- Base Fn _V
8	1	elexd 2826	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
9		funfvex 5686	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
10	9	funfni 5457	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
12		psr0cl.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
13		fnmap 6888	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
14		nn0ex 9501	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
15		psrgrp.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. V )
16	15	elexd 2826	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
17		fnovex 6082	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
18	13, 14, 16, 17	mp3an12i 1378	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
19	12, 18	rabexd 4256	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
20	11, 19	elmapd 6895	. . 3 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) ) )
21	6, 20	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
22		psrgrp.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
23		psr0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
24	22, 2, 12, 23, 15, 1	psrbasg 14821	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
25	21, 24	eleqtrrd 2312	1 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   _Vcvv 2812   {csn 3688   X. cxp 4746   `'ccnv 4747   "cima 4751   Fn wfn 5346   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   Fincfn 6974   NNcn 9236   NN0cn0 9495   Basecbs 13204   0gc0g 13461   Grpcgrp 13705   mPwSer cmps 14801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-tset 13301  df-rest 13446  df-topn 13447  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-psr 14803

This theorem is referenced by:  psr0lid  14829  psr0  14833  mplsubgfilemm  14845