Theorem psr0cl 14948

Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )
psr0cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr0cl.o	|- .0. = ( 0g ` R )
psr0cl.b	|- B = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
psr0cl	|- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. B )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   V( f)   .0. ( f)

Proof of Theorem psr0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
2		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr0cl.o	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	grpidcl 13826	. . . 4 |- ( R e. Grp -> .0. e. ( Base ` R ) )
5		fconst6g 5571	. . . 4 |- ( .0. e. ( Base ` R ) -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
6	1, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
7		basfn 13355	. . . . 5 |- Base Fn _V
8	1	elexd 2829	. . . . 5 |- ( ph -> R e. _V )
9		funfvex 5692	. . . . . 6 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
10	9	funfni 5463	. . . . 5 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
11	7, 8, 10	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
12		psr0cl.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
13		fnmap 6902	. . . . . 6 |- ^m Fn ( _V X. _V )
14		nn0ex 9519	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
15		psrgrp.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. V )
16	15	elexd 2829	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. _V )
17		fnovex 6091	. . . . . 6 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
18	13, 14, 16, 17	mp3an12i 1378	. . . . 5 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
19	12, 18	rabexd 4262	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
20	11, 19	elmapd 6909	. . 3 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) <-> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) ) )
21	6, 20	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. ( ( Base ` R ) ^m D ) )
22		psrgrp.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
23		psr0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
24	22, 2, 12, 23, 15, 1	psrbasg 14941	. 2 |- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m D ) )
25	21, 24	eleqtrrd 2314	1 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   {csn 3694   X. cxp 4752   `'ccnv 4753   "cima 4757   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Fincfn 6988   NNcn 9254   NN0cn0 9513   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Grpcgrp 13797   mPwSer cmps 14921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-ixp 6947  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-tset 13393  df-rest 13538  df-topn 13539  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-pt 13558  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-psr 14923

This theorem is referenced by:  psr0lid  14949  psr0  14953  mplsubgfilemm  14965