Theorem psrneg 14730

Description: The negative function of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )
psrneg.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrneg.i	|- N = ( invg ` R )
psrneg.b	|- B = ( Base ` S )
psrneg.m	|- M = ( invg ` S )
psrneg.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrneg	|- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   M( f)   N( f)   V( f)   X( f)

Proof of Theorem psrneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrgrp.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
3		psrgrp.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
4		psrneg.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrneg.i	. . . 4 |- N = ( invg ` R )
6		psrneg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
7		psrneg.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
8		eqid 2230	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
9		eqid 2230	. . . 4 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	psrlinv 14727	. . 3 |- ( ph -> ( ( N o. X ) ( +g ` S ) X ) = ( D X. { ( 0g ` R ) } ) )
11		eqid 2230	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
12	1, 2, 3, 4, 8, 11	psr0 14729	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` S ) = ( D X. { ( 0g ` R ) } ) )
13	10, 12	eqtr4d 2266	. 2 |- ( ph -> ( ( N o. X ) ( +g ` S ) X ) = ( 0g ` S ) )
14	1, 2, 3	psrgrp 14728	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	psrnegcl 14726	. . 3 |- ( ph -> ( N o. X ) e. B )
16		psrneg.m	. . . 4 |- M = ( invg ` S )
17	6, 9, 11, 16	grpinvid2 13659	. . 3 |- ( ( S e. Grp /\ X e. B /\ ( N o. X ) e. B ) -> ( ( M ` X ) = ( N o. X ) <-> ( ( N o. X ) ( +g ` S ) X ) = ( 0g ` S ) ) )
18	14, 7, 15, 17	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( ( M ` X ) = ( N o. X ) <-> ( ( N o. X ) ( +g ` S ) X ) = ( 0g ` S ) ) )
19	13, 18	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( M ` X ) = ( N o. X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2201   {crab 2513   {csn 3670   X. cxp 4725   `'ccnv 4726   "cima 4730   o. ccom 4731   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   ^m cmap 6822   Fincfn 6914   NNcn 9148   NN0cn0 9407   Basecbs 13105   +g cplusg 13183   0gc0g 13362   Grpcgrp 13606   invgcminusg 13607   mPwSer cmps 14699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6824  df-ixp 6873  df-sup 7188  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-hom 13207  df-cco 13208  df-rest 13347  df-topn 13348  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-pt 13367  df-prds 13373  df-pws 13396  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-psr 14701

This theorem is referenced by:  mplsubgfileminv  14743  mplnegfi  14748