Theorem psrgrp 14889

Description: The ring of power series is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
psrgrp	|- ( ph -> S e. Grp )

Proof of Theorem psrgrp

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
2		eqid 2234	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
3		fnmap 6891	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4		nn0ex 9507	. . . . 5 |- NN0 e. _V
5		psrgrp.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
6	5	elexd 2829	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
7		fnovex 6085	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
8	3, 4, 6, 7	mp3an12i 1378	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
9	2, 8	rabexd 4259	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
10		eqid 2234	. . . 4 |- ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
11	10	pwsgrp 13845	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V ) -> ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp )
12	1, 9, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp )
13		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14	10, 13	pwsbas 13526	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V ) -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
16		psrgrp.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
17		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18	16, 13, 2, 17, 5, 1	psrbasg 14878	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
19	18	eqcomd 2240	. . 3 |- ( ph -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` S ) )
20		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
21	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> R e. Grp )
22	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
23	15	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) )
24	23	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
25	24	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
26	15	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
28	27	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
29		eqid 2234	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
30		eqid 2234	. . . . 5 |- ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) = ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
31	10, 20, 21, 22, 25, 28, 29, 30	pwsplusgval 13529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
32		eqid 2234	. . . . 5 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
33	18	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` S ) <-> x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
34	33	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
35	34	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
36	18	eleq2d 2304	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` S ) <-> y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
37	36	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
38	37	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
39	16, 17, 29, 32, 35, 38	psradd 14883	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
40	31, 39	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
41	15, 19, 40	grppropd 13751	. 2 |- ( ph -> ( ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp <-> S e. Grp ) )
42	12, 41	mpbid 147	1 |- ( ph -> S e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   X. cxp 4749   `'ccnv 4750   "cima 4754   Fn wfn 5349   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   oFcof 6266   ^m cmap 6884   Fincfn 6977   NNcn 9242   NN0cn0 9501   Basecbs 13233   +g cplusg 13311   ^_s cpws 13500   Grpcgrp 13734   mPwSer cmps 14858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-ixp 6936  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-fz 10349  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-tset 13330  df-ple 13331  df-ds 13333  df-hom 13335  df-cco 13336  df-rest 13475  df-topn 13476  df-0g 13492  df-topgen 13494  df-pt 13495  df-prds 13501  df-pws 13524  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-psr 14860

This theorem is referenced by:  psr0  14890  psrneg  14891  mplsubgfi  14905