Theorem psrgrp 14562

Description: The ring of power series is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
psrgrp	|- ( ph -> S e. Grp )

Proof of Theorem psrgrp

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
2		eqid 2207	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
3		fnmap 6765	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4		nn0ex 9336	. . . . 5 |- NN0 e. _V
5		psrgrp.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
6	5	elexd 2790	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
7		fnovex 6000	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
8	3, 4, 6, 7	mp3an12i 1354	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
9	2, 8	rabexd 4205	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
10		eqid 2207	. . . 4 |- ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
11	10	pwsgrp 13558	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V ) -> ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp )
12	1, 9, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp )
13		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14	10, 13	pwsbas 13239	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V ) -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
15	1, 9, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
16		psrgrp.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
17		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18	16, 13, 2, 17, 5, 1	psrbasg 14551	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
19	18	eqcomd 2213	. . 3 |- ( ph -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` S ) )
20		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
21	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> R e. Grp )
22	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
23	15	eleq2d 2277	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) )
24	23	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
25	24	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
26	15	eleq2d 2277	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
28	27	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
29		eqid 2207	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
30		eqid 2207	. . . . 5 |- ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) = ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
31	10, 20, 21, 22, 25, 28, 29, 30	pwsplusgval 13242	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
32		eqid 2207	. . . . 5 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
33	18	eleq2d 2277	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` S ) <-> x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
34	33	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
35	34	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
36	18	eleq2d 2277	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` S ) <-> y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
37	36	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
38	37	adantrl 478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
39	16, 17, 29, 32, 35, 38	psradd 14556	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
40	31, 39	eqtr4d 2243	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
41	15, 19, 40	grppropd 13464	. 2 |- ( ph -> ( ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp <-> S e. Grp ) )
42	12, 41	mpbid 147	1 |- ( ph -> S e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {crab 2490   _Vcvv 2776   X. cxp 4691   `'ccnv 4692   "cima 4696   Fn wfn 5285   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   oFcof 6179   ^m cmap 6758   Fincfn 6850   NNcn 9071   NN0cn0 9330   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   ^_s cpws 13213   Grpcgrp 13447   mPwSer cmps 14538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-map 6760  df-ixp 6809  df-sup 7112  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-fz 10166  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-hom 13048  df-cco 13049  df-rest 13188  df-topn 13189  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-pt 13208  df-prds 13214  df-pws 13237  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-psr 14540

This theorem is referenced by:  psr0  14563  psrneg  14564  mplsubgfi  14578