Theorem psrgrp 15200

Description: The ring of power series is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgrp.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrgrp.i	|- ( ph -> I e. V )
psrgrp.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
psrgrp	|- ( ph -> S e. Grp )

Proof of Theorem psrgrp

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgrp.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
2		eqid 2238	. . . 4 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
3		fnmap 6933	. . . . 5 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4		nn0ex 9581	. . . . 5 |- NN0 e. _V
5		psrgrp.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
6	5	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
7		fnovex 6121	. . . . 5 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
8	3, 4, 6, 7	mp3an12i 1382	. . . 4 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
9	2, 8	rabexd 4283	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
10		eqid 2238	. . . 4 |- ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
11	10	pwsgrp 14322	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V ) -> ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp )
12	1, 9, 11	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp )
13		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14	10, 13	pwsbas 14313	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V ) -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
15	1, 9, 14	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
16		psrgrp.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
17		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18	16, 13, 2, 17, 5, 1	psrbasg 15183	. . . 4 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
19	18	eqcomd 2244	. . 3 |- ( ph -> ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) = ( Base ` S ) )
20		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) = ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
21	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> R e. Grp )
22	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
23	15	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) )
24	23	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
25	24	adantrr 483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> x e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
26	15	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) <-> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) )
27	26	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
28	27	adantrl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> y e. ( Base ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
29		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
30		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) = ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) )
31	10, 20, 21, 22, 25, 28, 29, 30	pwsplusgval 14316	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
32		eqid 2238	. . . . 5 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
33	18	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` S ) <-> x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
34	33	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
35	34	adantrr 483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
36	18	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. ( Base ` S ) <-> y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) )
37	36	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
38	37	adantrl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
39	16, 17, 29, 32, 35, 38	psradd 15188	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
40	31, 39	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) /\ y e. ( ( Base ` R ) ^m { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) ) -> ( x ( +g ` ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
41	15, 19, 40	grppropd 13882	. 2 |- ( ph -> ( ( R ^s { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } ) e. Grp <-> S e. Grp ) )
42	12, 41	mpbid 147	1 |- ( ph -> S e. Grp )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   "cima 4779   Fn wfn 5375   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   ^m cmap 6926   Fincfn 7027   NNcn 9314   NN0cn0 9575   Basecbs 13411   +g cplusg 13491   Grpcgrp 13865   ^_s cpws 14310   mPwSer cmps 15155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-prds 14278  df-pws 14311  df-psr 15158

This theorem is used by:  psr0  15201  psrneg  15202  psrringfi  15209  mplsubgfi  15229