Theorem qavgle 10288

Description: The average of two rational numbers is less than or equal to at least one of them. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qavgle	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))

Proof of Theorem qavgle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qletric 10273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
2	1	orcomd 730	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 𝐵))
3		qre 9654	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		qre 9654	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		avgle2 9189	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
9		qcn 9663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		qcn 9663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	addcomd 8137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
14	13	oveq1d 5910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) = ((𝐵 + 𝐴) / 2))
15	14	breq1d 4028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
16	8, 15	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴))
17		avgle2 9189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))
18	6, 4, 17	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))
19	16, 18	orbi12d 794	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵)))
20	2, 19	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895  ℂcc 7838  ℝcr 7839   + caddc 7843   ≤ cle 8022   / cdiv 8658  2c2 8999  ℚcq 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-n0 9206  df-z 9283  df-q 9649  df-rp 9683

This theorem is referenced by:  facavg  10757