Theorem qavgle 9733

Description: The average of two rational numbers is less than or equal to at least one of them. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qavgle	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))

Proof of Theorem qavgle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qletric 9718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
2	1	orcomd 684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 𝐵))
3		qre 9173	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 272	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		qre 9173	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	adantr 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		avgle2 8720	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
8	4, 6, 7	syl2anc 404	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
9		qcn 9182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	adantr 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		qcn 9182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	addcomd 7696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
14	13	oveq1d 5683	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) = ((𝐵 + 𝐴) / 2))
15	14	breq1d 3863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
16	8, 15	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴))
17		avgle2 8720	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))
18	6, 4, 17	syl2anc 404	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))
19	16, 18	orbi12d 743	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵)))
20	2, 19	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412   + caddc 7416   ≤ cle 7586   / cdiv 8202  2c2 8536  ℚcq 9167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-n0 8737  df-z 8814  df-q 9168  df-rp 9198

This theorem is referenced by:  facavg  10217