Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qavgle GIF version

Theorem qavgle 10043
 Description: The average of two rational numbers is less than or equal to at least one of them. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
qavgle ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))

Proof of Theorem qavgle
StepHypRef Expression
1 qletric 10028 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
21orcomd 718 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
3 qre 9424 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantl 275 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 qre 9424 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 avgle2 8968 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
84, 6, 7syl2anc 408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
9 qcn 9433 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 qcn 9433 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
1211adantl 275 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1310, 12addcomd 7920 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
1413oveq1d 5789 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) = ((𝐵 + 𝐴) / 2))
1514breq1d 3939 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + 𝐴) / 2) ≤ 𝐴))
168, 15bitr4d 190 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵𝐴 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴))
17 avgle2 8968 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))
186, 4, 17syl2anc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))
1916, 18orbi12d 782 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐵𝐴𝐴𝐵) ↔ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵)))
202, 19mpbid 146 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐴 ∨ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  ℝcr 7626   + caddc 7630   ≤ cle 7808   / cdiv 8439  2c2 8778  ℚcq 9418 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-n0 8985  df-z 9062  df-q 9419  df-rp 9449 This theorem is referenced by:  facavg  10499
 Copyright terms: Public domain W3C validator