Theorem qre 9781

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9778	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9411	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9078	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9100	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8839	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1207	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2270	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2631	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   # cap 8689   / cdiv 8780   NNcn 9071   ZZcz 9407   QQcq 9775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-z 9408  df-q 9776

This theorem is referenced by:  qssre  9786  qltlen  9796  qlttri2  9797  irradd  9802  irrmul  9803  qletric  10421  qlelttric  10422  qltnle  10423  qdceq  10424  qdclt  10425  qdcle  10426  qbtwnz  10431  qbtwnxr  10437  qavgle  10438  ioo0  10439  ioom  10440  ico0  10441  ioc0  10442  xqltnle  10447  flqcl  10453  flqlelt  10456  qfraclt1  10460  qfracge0  10461  flqge  10462  flqltnz  10467  flqwordi  10468  flqbi  10470  flqbi2  10471  flqaddz  10477  flqmulnn0  10479  flltdivnn0lt  10484  ceilqval  10488  ceiqge  10491  ceiqm1l  10493  ceiqle  10495  flqleceil  10499  flqeqceilz  10500  intfracq  10502  flqdiv  10503  modqval  10506  modq0  10511  mulqmod0  10512  negqmod0  10513  modqge0  10514  modqlt  10515  modqelico  10516  modqdiffl  10517  modqmulnn  10524  modqid  10531  modqid0  10532  modqabs  10539  modqabs2  10540  modqcyc  10541  mulqaddmodid  10546  modqmuladdim  10549  modqmuladdnn0  10550  modqltm1p1mod  10558  q2txmodxeq0  10566  q2submod  10567  modqdi  10574  modqsubdir  10575  qsqeqor  10832  fimaxq  11009  qabsor  11501  qdenre  11628  expcnvre  11929  flodddiv4t2lthalf  12365  bitsmod  12382  bitsinv1lem  12387  sqrt2irraplemnn  12616  sqrt2irrap  12617  qnumgt0  12635  4sqlem6  12821  blssps  15014  blss  15015  qtopbas  15109  logbgcd1irraplemap  15556  qdencn  16168  apdifflemf  16187