Theorem qre 9108

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9105	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 8752	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 8427	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 8449	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 300	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8196	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1144	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 283	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2150	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 155	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2494	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 119	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   RRcr 7347   0cc0 7348   # cap 8056   / cdiv 8137   NNcn 8420   ZZcz 8748   QQcq 9102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-z 8749  df-q 9103

This theorem is referenced by:  qssre  9113  qltlen  9123  qlttri2  9124  irradd  9129  irrmul  9130  qletric  9651  qlelttric  9652  qltnle  9653  qdceq  9654  qbtwnz  9659  qbtwnxr  9665  qavgle  9666  ioo0  9667  ioom  9668  ico0  9669  ioc0  9670  flqcl  9676  flqlelt  9679  qfraclt1  9683  qfracge0  9684  flqge  9685  flqltnz  9690  flqwordi  9691  flqbi  9693  flqbi2  9694  flqaddz  9700  flqmulnn0  9702  flltdivnn0lt  9707  ceilqval  9709  ceiqge  9712  ceiqm1l  9714  ceiqle  9716  flqleceil  9720  flqeqceilz  9721  intfracq  9723  flqdiv  9724  modqval  9727  modq0  9732  mulqmod0  9733  negqmod0  9734  modqge0  9735  modqlt  9736  modqelico  9737  modqdiffl  9738  modqmulnn  9745  modqid  9752  modqid0  9753  modqabs  9760  modqabs2  9761  modqcyc  9762  mulqaddmodid  9767  modqmuladdim  9770  modqmuladdnn0  9771  modqltm1p1mod  9779  q2txmodxeq0  9787  q2submod  9788  modqdi  9795  modqsubdir  9796  fimaxq  10231  qabsor  10504  qdenre  10631  expcnvre  10893  flodddiv4t2lthalf  11211  sqrt2irraplemnn  11431  sqrt2irrap  11432  qnumgt0  11450  qdencn  11870