Theorem qre 9690

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9687	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9321	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 8989	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9011	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8750	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2256	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2617	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   # cap 8600   / cdiv 8691   NNcn 8982   ZZcz 9317   QQcq 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-z 9318  df-q 9685

This theorem is referenced by:  qssre  9695  qltlen  9705  qlttri2  9706  irradd  9711  irrmul  9712  qletric  10311  qlelttric  10312  qltnle  10313  qdceq  10314  qdclt  10315  qbtwnz  10320  qbtwnxr  10326  qavgle  10327  ioo0  10328  ioom  10329  ico0  10330  ioc0  10331  xqltnle  10336  flqcl  10342  flqlelt  10345  qfraclt1  10349  qfracge0  10350  flqge  10351  flqltnz  10356  flqwordi  10357  flqbi  10359  flqbi2  10360  flqaddz  10366  flqmulnn0  10368  flltdivnn0lt  10373  ceilqval  10377  ceiqge  10380  ceiqm1l  10382  ceiqle  10384  flqleceil  10388  flqeqceilz  10389  intfracq  10391  flqdiv  10392  modqval  10395  modq0  10400  mulqmod0  10401  negqmod0  10402  modqge0  10403  modqlt  10404  modqelico  10405  modqdiffl  10406  modqmulnn  10413  modqid  10420  modqid0  10421  modqabs  10428  modqabs2  10429  modqcyc  10430  mulqaddmodid  10435  modqmuladdim  10438  modqmuladdnn0  10439  modqltm1p1mod  10447  q2txmodxeq0  10455  q2submod  10456  modqdi  10463  modqsubdir  10464  qsqeqor  10721  fimaxq  10898  qabsor  11219  qdenre  11346  expcnvre  11646  flodddiv4t2lthalf  12078  sqrt2irraplemnn  12317  sqrt2irrap  12318  qnumgt0  12336  4sqlem6  12521  blssps  14595  blss  14596  qtopbas  14690  logbgcd1irraplemap  15101  qdencn  15517  apdifflemf  15536