Theorem qre 9920

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9917	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9544	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9209	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9231	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8970	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1231	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2294	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2657	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8091   0cc0 8092   # cap 8820   / cdiv 8911   NNcn 9202   ZZcz 9540   QQcq 9914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-z 9541  df-q 9915

This theorem is referenced by:  qssre  9925  qltlen  9935  qlttri2  9936  irradd  9941  irrmul  9942  qletric  10564  qlelttric  10565  qltnle  10566  qdceq  10567  qdclt  10568  qdcle  10569  qbtwnz  10574  qbtwnxr  10580  qavgle  10581  ioo0  10582  ioom  10583  ico0  10584  ioc0  10585  xqltnle  10590  flqcl  10596  flqlelt  10599  qfraclt1  10603  qfracge0  10604  flqge  10605  flqltnz  10610  flqwordi  10611  flqbi  10613  flqbi2  10614  flqaddz  10620  flqmulnn0  10622  flltdivnn0lt  10627  ceilqval  10631  ceiqge  10634  ceiqm1l  10636  ceiqle  10638  flqleceil  10642  flqeqceilz  10643  intfracq  10645  flqdiv  10646  modqval  10649  modq0  10654  mulqmod0  10655  negqmod0  10656  modqge0  10657  modqlt  10658  modqelico  10659  modqdiffl  10660  modqmulnn  10667  modqid  10674  modqid0  10675  modqabs  10682  modqabs2  10683  modqcyc  10684  mulqaddmodid  10689  modqmuladdim  10692  modqmuladdnn0  10693  modqltm1p1mod  10701  q2txmodxeq0  10709  q2submod  10710  modqdi  10717  modqsubdir  10718  qsqeqor  10975  fimaxq  11154  qabsor  11715  qdenre  11842  expcnvre  12144  flodddiv4t2lthalf  12580  bitsmod  12597  bitsinv1lem  12602  sqrt2irraplemnn  12831  sqrt2irrap  12832  qnumgt0  12850  4sqlem6  13036  blssps  15238  blss  15239  qtopbas  15333  logbgcd1irraplemap  15780  qdencn  16755  apdifflemf  16778  qdiff  16781