Theorem qre 9837

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9834	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9466	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9133	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9155	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8894	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1228	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2292	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2654	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   RRcr 8014   0cc0 8015   # cap 8744   / cdiv 8835   NNcn 9126   ZZcz 9462   QQcq 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-z 9463  df-q 9832

This theorem is referenced by:  qssre  9842  qltlen  9852  qlttri2  9853  irradd  9858  irrmul  9859  qletric  10478  qlelttric  10479  qltnle  10480  qdceq  10481  qdclt  10482  qdcle  10483  qbtwnz  10488  qbtwnxr  10494  qavgle  10495  ioo0  10496  ioom  10497  ico0  10498  ioc0  10499  xqltnle  10504  flqcl  10510  flqlelt  10513  qfraclt1  10517  qfracge0  10518  flqge  10519  flqltnz  10524  flqwordi  10525  flqbi  10527  flqbi2  10528  flqaddz  10534  flqmulnn0  10536  flltdivnn0lt  10541  ceilqval  10545  ceiqge  10548  ceiqm1l  10550  ceiqle  10552  flqleceil  10556  flqeqceilz  10557  intfracq  10559  flqdiv  10560  modqval  10563  modq0  10568  mulqmod0  10569  negqmod0  10570  modqge0  10571  modqlt  10572  modqelico  10573  modqdiffl  10574  modqmulnn  10581  modqid  10588  modqid0  10589  modqabs  10596  modqabs2  10597  modqcyc  10598  mulqaddmodid  10603  modqmuladdim  10606  modqmuladdnn0  10607  modqltm1p1mod  10615  q2txmodxeq0  10623  q2submod  10624  modqdi  10631  modqsubdir  10632  qsqeqor  10889  fimaxq  11067  qabsor  11607  qdenre  11734  expcnvre  12035  flodddiv4t2lthalf  12471  bitsmod  12488  bitsinv1lem  12493  sqrt2irraplemnn  12722  sqrt2irrap  12723  qnumgt0  12741  4sqlem6  12927  blssps  15122  blss  15123  qtopbas  15217  logbgcd1irraplemap  15664  qdencn  16509  apdifflemf  16528