Theorem qre 9623

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9620	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9255	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 8924	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 8946	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8686	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1204	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2240	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2600	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   # cap 8536   / cdiv 8627   NNcn 8917   ZZcz 9251   QQcq 9617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-z 9252  df-q 9618

This theorem is referenced by:  qssre  9628  qltlen  9638  qlttri2  9639  irradd  9644  irrmul  9645  qletric  10241  qlelttric  10242  qltnle  10243  qdceq  10244  qbtwnz  10249  qbtwnxr  10255  qavgle  10256  ioo0  10257  ioom  10258  ico0  10259  ioc0  10260  flqcl  10270  flqlelt  10273  qfraclt1  10277  qfracge0  10278  flqge  10279  flqltnz  10284  flqwordi  10285  flqbi  10287  flqbi2  10288  flqaddz  10294  flqmulnn0  10296  flltdivnn0lt  10301  ceilqval  10303  ceiqge  10306  ceiqm1l  10308  ceiqle  10310  flqleceil  10314  flqeqceilz  10315  intfracq  10317  flqdiv  10318  modqval  10321  modq0  10326  mulqmod0  10327  negqmod0  10328  modqge0  10329  modqlt  10330  modqelico  10331  modqdiffl  10332  modqmulnn  10339  modqid  10346  modqid0  10347  modqabs  10354  modqabs2  10355  modqcyc  10356  mulqaddmodid  10361  modqmuladdim  10364  modqmuladdnn0  10365  modqltm1p1mod  10373  q2txmodxeq0  10381  q2submod  10382  modqdi  10389  modqsubdir  10390  qsqeqor  10627  fimaxq  10802  qabsor  11079  qdenre  11206  expcnvre  11506  flodddiv4t2lthalf  11936  sqrt2irraplemnn  12173  sqrt2irrap  12174  qnumgt0  12192  4sqlem6  12375  blssps  13820  blss  13821  qtopbas  13915  logbgcd1irraplemap  14280  qdencn  14657  apdifflemf  14676