Theorem qre 10004

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10001	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9627	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9290	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9312	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 9051	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2301	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2674	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   ZZcz 9623   QQcq 9998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-z 9624  df-q 9999

This theorem is referenced by:  qssre  10009  qltlen  10019  qlttri2  10020  irradd  10025  irrmul  10026  qletric  10654  qlelttric  10655  qltnle  10656  qdceq  10657  qdclt  10658  qdcle  10659  qbtwnz  10664  qbtwnxr  10670  qavgle  10671  ioo0  10672  ioom  10673  ico0  10674  ioc0  10675  xqltnle  10680  flqcl  10686  flqlelt  10689  qfraclt1  10693  qfracge0  10694  flqge  10695  flqltnz  10700  flqwordi  10701  flqbi  10703  flqbi2  10704  flqaddz  10710  flqmulnn0  10712  flltdivnn0lt  10717  ceilqval  10721  ceiqge  10724  ceiqm1l  10726  ceiqle  10728  flqleceil  10732  flqeqceilz  10733  intfracq  10735  flqdiv  10736  modqval  10739  modq0  10744  mulqmod0  10745  negqmod0  10746  modqge0  10747  modqlt  10748  modqelico  10749  modqdiffl  10750  modqmulnn  10757  modqid  10764  modqid0  10765  modqabs  10772  modqabs2  10773  modqcyc  10774  mulqaddmodid  10779  modqmuladdim  10782  modqmuladdnn0  10783  modqltm1p1mod  10791  q2txmodxeq0  10799  q2submod  10800  modqdi  10807  modqsubdir  10808  qsqeqor  11065  fimaxq  11248  qabsor  11819  qdenre  11946  expcnvre  12248  flodddiv4t2lthalf  12684  bitsmod  12701  bitsinv1lem  12706  sqrt2irraplemnn  12935  sqrt2irrap  12936  qnumgt0  12954  4sqlem6  13140  blssps  15451  blss  15452  qtopbas  15546  logbgcd1irraplemap  15994  qdencn  16977  apdifflemf  17000  qdiff  17003