Theorem qre 9573

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9570	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9205	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 8874	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 8896	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8637	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1199	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2233	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2593	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 120	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7762   0cc0 7763   # cap 8489   / cdiv 8578   NNcn 8867   ZZcz 9201   QQcq 9567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-z 9202  df-q 9568

This theorem is referenced by:  qssre  9578  qltlen  9588  qlttri2  9589  irradd  9594  irrmul  9595  qletric  10189  qlelttric  10190  qltnle  10191  qdceq  10192  qbtwnz  10197  qbtwnxr  10203  qavgle  10204  ioo0  10205  ioom  10206  ico0  10207  ioc0  10208  flqcl  10218  flqlelt  10221  qfraclt1  10225  qfracge0  10226  flqge  10227  flqltnz  10232  flqwordi  10233  flqbi  10235  flqbi2  10236  flqaddz  10242  flqmulnn0  10244  flltdivnn0lt  10249  ceilqval  10251  ceiqge  10254  ceiqm1l  10256  ceiqle  10258  flqleceil  10262  flqeqceilz  10263  intfracq  10265  flqdiv  10266  modqval  10269  modq0  10274  mulqmod0  10275  negqmod0  10276  modqge0  10277  modqlt  10278  modqelico  10279  modqdiffl  10280  modqmulnn  10287  modqid  10294  modqid0  10295  modqabs  10302  modqabs2  10303  modqcyc  10304  mulqaddmodid  10309  modqmuladdim  10312  modqmuladdnn0  10313  modqltm1p1mod  10321  q2txmodxeq0  10329  q2submod  10330  modqdi  10337  modqsubdir  10338  qsqeqor  10575  fimaxq  10751  qabsor  11028  qdenre  11155  expcnvre  11455  flodddiv4t2lthalf  11885  sqrt2irraplemnn  12122  sqrt2irrap  12123  qnumgt0  12141  4sqlem6  12324  blssps  13182  blss  13183  qtopbas  13277  logbgcd1irraplemap  13642  qdencn  14021  apdifflemf  14040