Theorem qre 9746

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9743	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9376	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9043	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9065	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8804	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1207	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2268	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2629	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   # cap 8654   / cdiv 8745   NNcn 9036   ZZcz 9372   QQcq 9740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-z 9373  df-q 9741

This theorem is referenced by:  qssre  9751  qltlen  9761  qlttri2  9762  irradd  9767  irrmul  9768  qletric  10384  qlelttric  10385  qltnle  10386  qdceq  10387  qdclt  10388  qdcle  10389  qbtwnz  10394  qbtwnxr  10400  qavgle  10401  ioo0  10402  ioom  10403  ico0  10404  ioc0  10405  xqltnle  10410  flqcl  10416  flqlelt  10419  qfraclt1  10423  qfracge0  10424  flqge  10425  flqltnz  10430  flqwordi  10431  flqbi  10433  flqbi2  10434  flqaddz  10440  flqmulnn0  10442  flltdivnn0lt  10447  ceilqval  10451  ceiqge  10454  ceiqm1l  10456  ceiqle  10458  flqleceil  10462  flqeqceilz  10463  intfracq  10465  flqdiv  10466  modqval  10469  modq0  10474  mulqmod0  10475  negqmod0  10476  modqge0  10477  modqlt  10478  modqelico  10479  modqdiffl  10480  modqmulnn  10487  modqid  10494  modqid0  10495  modqabs  10502  modqabs2  10503  modqcyc  10504  mulqaddmodid  10509  modqmuladdim  10512  modqmuladdnn0  10513  modqltm1p1mod  10521  q2txmodxeq0  10529  q2submod  10530  modqdi  10537  modqsubdir  10538  qsqeqor  10795  fimaxq  10972  qabsor  11386  qdenre  11513  expcnvre  11814  flodddiv4t2lthalf  12250  bitsmod  12267  bitsinv1lem  12272  sqrt2irraplemnn  12501  sqrt2irrap  12502  qnumgt0  12520  4sqlem6  12706  blssps  14899  blss  14900  qtopbas  14994  logbgcd1irraplemap  15441  qdencn  15966  apdifflemf  15985