Theorem qre 10025

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10022	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9648	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9311	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9333	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 9061	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2301	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2674	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   # cap 8909   / cdiv 9002   NNcn 9304   ZZcz 9644   QQcq 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-z 9645  df-q 10020

This theorem is used by:  qssre  10030  qltlen  10040  qlttri2  10041  irradd  10046  irrmul  10047  qletric  10676  qlelttric  10677  qltnle  10678  qdceq  10679  qdclt  10680  qdcle  10681  qbtwnz  10686  qbtwnxr  10692  qavgle  10693  ioo0  10694  ioom  10695  ico0  10696  ioc0  10697  xqltnle  10702  flqcl  10708  flqlelt  10711  qfraclt1  10715  qfracge0  10716  flqge  10717  flqltnz  10722  flqwordi  10723  flqbi  10725  flqbi2  10726  flqaddz  10732  flqmulnn0  10734  flltdivnn0lt  10739  ceilqval  10743  ceiqge  10746  ceiqm1l  10748  ceiqle  10750  flqleceil  10754  flqeqceilz  10755  intfracq  10757  flqdiv  10758  modqval  10761  modq0  10766  mulqmod0  10767  negqmod0  10768  modqge0  10769  modqlt  10770  modqelico  10771  modqdiffl  10772  modqmulnn  10779  modqid  10786  modqid0  10787  modqabs  10794  modqabs2  10795  modqcyc  10796  mulqaddmodid  10801  modqmuladdim  10804  modqmuladdnn0  10805  modqltm1p1mod  10813  q2txmodxeq0  10821  q2submod  10822  modqdi  10829  modqsubdir  10830  qsqeqor  11087  fimaxq  11270  qabsor  11841  qdenre  11968  expcnvre  12270  flodddiv4t2lthalf  12706  bitsmod  12723  bitsinv1lem  12728  sqrt2irraplemnn  12957  sqrt2irrap  12958  qnumgt0  12976  4sqlem6  13162  blssps  15528  blss  15529  qtopbas  15623  logbgcd1irraplemap  16071  log2tlbndlog2  16082  qdencn  17072  apdifflemf  17095  qdiff  17098