Theorem qre 9417

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9414	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9058	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 8727	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 8749	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 304	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8491	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1182	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2202	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2555	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 120	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZcz 9054   QQcq 9411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-z 9055  df-q 9412

This theorem is referenced by:  qssre  9422  qltlen  9432  qlttri2  9433  irradd  9438  irrmul  9439  qletric  10021  qlelttric  10022  qltnle  10023  qdceq  10024  qbtwnz  10029  qbtwnxr  10035  qavgle  10036  ioo0  10037  ioom  10038  ico0  10039  ioc0  10040  flqcl  10046  flqlelt  10049  qfraclt1  10053  qfracge0  10054  flqge  10055  flqltnz  10060  flqwordi  10061  flqbi  10063  flqbi2  10064  flqaddz  10070  flqmulnn0  10072  flltdivnn0lt  10077  ceilqval  10079  ceiqge  10082  ceiqm1l  10084  ceiqle  10086  flqleceil  10090  flqeqceilz  10091  intfracq  10093  flqdiv  10094  modqval  10097  modq0  10102  mulqmod0  10103  negqmod0  10104  modqge0  10105  modqlt  10106  modqelico  10107  modqdiffl  10108  modqmulnn  10115  modqid  10122  modqid0  10123  modqabs  10130  modqabs2  10131  modqcyc  10132  mulqaddmodid  10137  modqmuladdim  10140  modqmuladdnn0  10141  modqltm1p1mod  10149  q2txmodxeq0  10157  q2submod  10158  modqdi  10165  modqsubdir  10166  fimaxq  10573  qabsor  10847  qdenre  10974  expcnvre  11272  flodddiv4t2lthalf  11634  sqrt2irraplemnn  11857  sqrt2irrap  11858  qnumgt0  11876  blssps  12596  blss  12597  qtopbas  12691  qdencn  13222