Theorem qre 10035

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10032	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9653	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9314	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9336	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 9064	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2301	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2674	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   # cap 8912   / cdiv 9005   NNcn 9307   ZZcz 9649   QQcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by:  qssre  10040  qltlen  10050  qlttri2  10051  irradd  10056  irraddap  10057  irrmul  10058  qletric  10687  qlelttric  10688  qltnle  10689  qdceq  10690  qdclt  10691  qdcle  10692  qbtwnz  10697  qbtwnxr  10703  qavgle  10704  ioo0  10705  ioom  10706  ico0  10707  ioc0  10708  xqltnle  10713  flqcl  10719  flqlelt  10723  flaplelt  10724  qfraclt1  10728  qfracge0  10729  flqge  10730  flapge  10731  flqltnz  10737  flqwordi  10738  flqbi  10740  flqbi2  10741  flqaddz  10747  flqmulnn0  10749  flltdivnn0lt  10754  ceilqval  10758  ceiqge  10761  ceiqm1l  10763  ceiqle  10765  flqleceil  10769  flqeqceilz  10770  intfracq  10772  flqdiv  10773  modqval  10776  modq0  10781  mulqmod0  10782  negqmod0  10783  modqge0  10784  modqlt  10785  modqelico  10786  modqdiffl  10787  modqmulnn  10794  modqid  10801  modqid0  10802  modqabs  10809  modqabs2  10810  modqcyc  10811  mulqaddmodid  10816  modqmuladdim  10819  modqmuladdnn0  10820  modqltm1p1mod  10828  q2txmodxeq0  10836  q2submod  10837  modqdi  10844  modqsubdir  10845  qsqeqor  11102  fimaxq  11286  qabsor  11857  qdenre  11985  expcnvre  12289  flodddiv4t2lthalf  12725  bitsmod  12742  bitsinv1lem  12747  sqrt2irraplemnn  12978  sqrt2irrap  12979  qnumgt0  12997  nn0sqdcq  13007  sqrtrirr  13008  4sqlem6  13185  blssps  15619  blss  15620  qtopbas  15714  logbgcd1irraplemap  16166  log2tlbndlog2  16181  ppiqsval  16201  chtqcl  16205  chtqval  16206  ppiqval  16209  chtqwordi  16224  ppiqwordi  16229  ppiqeq0  16241  ppiqltx  16242  ppiqub  16254  chtqleppi  16255  chtqub  16257  bposlem8  16279  bposlem9  16280  qdencn  17238  rirrdisj  17251  apdifflemf  17262  qdiff  17265