Theorem qre 9748

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9745	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9378	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9045	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9067	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 8806	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1207	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2268	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2629	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   RRcr 7926   0cc0 7927   # cap 8656   / cdiv 8747   NNcn 9038   ZZcz 9374   QQcq 9742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-z 9375  df-q 9743

This theorem is referenced by:  qssre  9753  qltlen  9763  qlttri2  9764  irradd  9769  irrmul  9770  qletric  10386  qlelttric  10387  qltnle  10388  qdceq  10389  qdclt  10390  qdcle  10391  qbtwnz  10396  qbtwnxr  10402  qavgle  10403  ioo0  10404  ioom  10405  ico0  10406  ioc0  10407  xqltnle  10412  flqcl  10418  flqlelt  10421  qfraclt1  10425  qfracge0  10426  flqge  10427  flqltnz  10432  flqwordi  10433  flqbi  10435  flqbi2  10436  flqaddz  10442  flqmulnn0  10444  flltdivnn0lt  10449  ceilqval  10453  ceiqge  10456  ceiqm1l  10458  ceiqle  10460  flqleceil  10464  flqeqceilz  10465  intfracq  10467  flqdiv  10468  modqval  10471  modq0  10476  mulqmod0  10477  negqmod0  10478  modqge0  10479  modqlt  10480  modqelico  10481  modqdiffl  10482  modqmulnn  10489  modqid  10496  modqid0  10497  modqabs  10504  modqabs2  10505  modqcyc  10506  mulqaddmodid  10511  modqmuladdim  10514  modqmuladdnn0  10515  modqltm1p1mod  10523  q2txmodxeq0  10531  q2submod  10532  modqdi  10539  modqsubdir  10540  qsqeqor  10797  fimaxq  10974  qabsor  11419  qdenre  11546  expcnvre  11847  flodddiv4t2lthalf  12283  bitsmod  12300  bitsinv1lem  12305  sqrt2irraplemnn  12534  sqrt2irrap  12535  qnumgt0  12553  4sqlem6  12739  blssps  14932  blss  14933  qtopbas  15027  logbgcd1irraplemap  15474  qdencn  16003  apdifflemf  16022