Theorem qre 10041

Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
qre	|- ( A e. QQ -> A e. RR )

Proof of Theorem qre

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 10038	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		zre 9659	. . . . 5 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
3		nnre 9320	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y e. RR )
4		nnap0 9342	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> y # 0 )
5	3, 4	jca 306	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ y # 0 ) )
6		redivclap 9069	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ y # 0 ) -> ( x / y ) e. RR )
7	6	3expb 1235	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ ( y e. RR /\ y # 0 ) ) -> ( x / y ) e. RR )
8	2, 5, 7	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x / y ) e. RR )
9		eleq1 2301	. . . 4 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. RR <-> ( x / y ) e. RR ) )
10	8, 9	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> A e. RR ) )
11	10	rexlimivv 2674	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> A e. RR )
12	1, 11	sylbi 121	1 |- ( A e. QQ -> A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   # cap 8917   / cdiv 9010   NNcn 9313   ZZcz 9655   QQcq 10035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-z 9656  df-q 10036

This theorem is used by:  qssre  10046  qltlen  10056  qlttri2  10057  irradd  10062  irraddap  10063  irrmul  10064  qletric  10693  qlelttric  10694  qltnle  10695  qdceq  10696  qdclt  10697  qdcle  10698  qbtwnz  10703  qbtwnxr  10709  qavgle  10710  ioo0  10711  ioom  10712  ico0  10713  ioc0  10714  xqltnle  10719  flqcl  10725  flqlelt  10729  flaplelt  10730  qfraclt1  10734  qfracge0  10735  flqge  10736  flapge  10737  flqltnz  10743  flqwordi  10744  flqbi  10746  flqbi2  10747  flqaddz  10753  flqmulnn0  10755  flltdivnn0lt  10760  ceilqval  10764  ceiqge  10767  ceiqm1l  10769  ceiqle  10771  flqleceil  10775  flqeqceilz  10776  intfracq  10778  flqdiv  10779  modqval  10782  modq0  10787  mulqmod0  10788  negqmod0  10789  modqge0  10790  modqlt  10791  modqelico  10792  modqdiffl  10793  modqmulnn  10800  modqid  10807  modqid0  10808  modqabs  10815  modqabs2  10816  modqcyc  10817  mulqaddmodid  10822  modqmuladdim  10825  modqmuladdnn0  10826  modqltm1p1mod  10834  q2txmodxeq0  10842  q2submod  10843  modqdi  10850  modqsubdir  10851  qsqeqor  11108  fimaxq  11292  qabsor  11863  qdenre  11991  expcnvre  12295  flodddiv4t2lthalf  12731  bitsmod  12748  bitsinv1lem  12753  sqrt2irraplemnn  12984  sqrt2irrap  12985  qnumgt0  13003  nn0sqdcq  13013  sqrtrirr  13014  4sqlem6  13191  blssps  15653  blss  15654  qtopbas  15748  logbgcd1irraplemap  16205  log2tlbndlog2  16220  ppiqsval  16240  chtqcl  16244  chtqval  16245  ppiqval  16248  chtqwordi  16263  ppiqwordi  16268  ppiqeq0  16280  ppiqltx  16281  ppiqub  16293  chtqleppi  16294  chtqub  16296  bposlem8  16318  bposlem9  16319  qdencn  17278  rirrdisj  17291  apdifflemf  17302  qdiff  17305